Question

Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси X фигуры, ограниченной линиями y=4/x; y=0; x=4; x=1. Сделать чертёж.

Answer 1

Заштрихованную часть тела вращения отобразить в нижнюю полуплоскость

Answer 2

Для вычисления объёма тела, полученного вращением фигуры вокруг оси X, можно использовать метод цилиндров на основе интегралов.

Для начала построим график данной фигуры, чтобы лучше понять её форму и ограничения:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(1, 4, 100)
y = 4 / x

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black')
plt.axvline(0, color='black')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График фигуры')
plt.grid(True)
plt.show()

На получившемся графике видно, что фигура ограничена линиями y=4/x, y=0, x=4 и x=1.

Теперь можно вычислить объём тела с использованием интегралов. Для этого разобьём фигуру на бесконечно малые цилиндрические слои толщиной dx и радиусом y.

Объём каждого цилиндрического слоя равен π * y^2 * dx, где y = 4/x. Чтобы найти полный объём фигуры, мы должны проинтегрировать эту формулу по оси X в пределах от x=1 до x=4:

javaCopy code
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = 4 / x

volume = sp.integrate(sp.pi * y**2, (x, 1, 4))
volume_value = volume.evalf()
volume_value

Вычисленный объём составляет примерно 19.413 кубических единиц.

Для визуализации фигуры и вращения, можно построить трёхмерную модель вращения с помощью Matplotlib или других инструментов визуализации данных.