Question

Три стороны АВ,ВС и СД трапеции ВАВСД равны.Диагональ ВД равна основанию АД.Найдите угол ВСД.

Answer 1

Из подобия треугольников ADE и BCE следует
x/b = (x + b)/a;
что означает, что AC делит ED пропорционально AD и AE, то есть AC - биссектриса угла EAD.
Далее, угол BCE = угол ADE, следовательно, оба треугольника BCE и ACD - равнобедренные, имеют равные углы при основании и равные основания, так как BC = CD.
Таким образом, x = BE = EC = a;
Итак, в равнобедренном треугольнике AED основание AD = биссектриса AC = отрезок от вершины до основания биссектрисы EC. Этот треугольник полезно запомнить - и сейчас станет ясно, почему.
Если обозначить угол CAD = α; то теперь очевидно,
что угол CDA = угол ACD = 2α; (AC - биссектриса угла А, и не надо забывать, что и трапеция равнобедренная). Угол BCA = α; поэтому угол BCD = 3α; и
5α = 180°; откуда α = 36°;
углы трапеции равны 108° и 72°; это ответ :)

а теперь - почему так устроенный треугольник AED так важен.
Поскольку x = a; то (a + b)/a = a/b;
если обозначить b/a = y; то 1 + y = 1/y; или y^2 + y - 1 = 0;
откуда y = (√5 - 1)/2;
Отсюда получается cos(72°) = (a/2)/(a + b) = (1/2)/(1 + b/a) = 1/(2 + 2y) = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4;
cos(72°) = (√5 - 1)/4; то есть получено выражение в радикалах для косинуса угла 72°; конечно же, cos(72°) = sin(18°); и это означает, что получены выражения в радикалах для всех углов, кратных 18° (ну, я их вычислять тут не буду, это и не важно).

Answer 2

Пусть сторона AB = BC = CD = a, а основание AD = BD = b. Также пусть угол ВСД равен x.

ВАВСД - трапеция, значит, сторона ВС || AD.

Рассмотрим треугольник ВСД. У него сторона СД равна a (так как AB = BC = CD = a), а сторона ВД равна b (так как AD = BD = b). Также из условия дано, что BD = AD. Значит, треугольник ВДА равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, равна половине основания и перпендикулярна ему. Следовательно, медиана ВС в треугольнике ВДА будет перпендикулярна стороне АД и равна половине AD, то есть b/2.

Так как ВС перпендикулярна АД, то она будет также перпендикулярна СД (так как ВС || AD и ВС пересекает СД). Значит, угол ВСД будет прямым углом.

Таким образом, угол ВСД равен 90 градусам.