Question

СРОЧНО Сколькими способами можно выбрать: а) 7 предметов из 9; б) 2 предмета из 6; в) 4 предмета из 7; г) 5 предметов из 10?

Answer 1

Ответ:

    а). 36.

    б). 15.

    в). 35.

    г). 252.

Решение:

• Для решения этой задачи нужно знать важное правило: если нам нужно выбрать $k$ предметов из $n$ (без учета порядка и без повторений), то число способов это сделать, равно "цэ из эн по ка": $\displaystyle C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $a!=a \cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ - "факториал"). Формулу иногда немного сложно запомнить, но очень важная в комбинаторике.

а). 7 предметов из 9:

• $C_9^7=\dfrac{9!}{7!(9-7)!} = \dfrac{9!}{7! \cdot 2!} =\dfrac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2} =\dfrac{72}{2} = 36.$

б). 2 предмета из 6:

• $C_6^2=\dfrac{6!}{2!(6-2)!} = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} =\dfrac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} =\dfrac{30}{2} = 15.$

в). 4 предмета из 7:

• $C_7^4=\dfrac{7!}{4!(7-4)!} = \dfrac{7!}{4! \cdot 3!} =\dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} =\dfrac{6 \cdot (7 \cdot 5)}{6} = 35.$

г). 5 предметов из 10:

• $C_{10}^5=\dfrac{10!}{5!(10-5)!} = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} =\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =252.$

Задача решена!

Answer 2

а) Для выбора 7 предметов из 9 мы используем формулу комбинаторики "из n элементов выбираем k элементов без учета порядка". Формула для этого случая называется сочетанием и обозначается как C(n, k) или "n по k". Для данной задачи: C(9, 7) = 9! / (7!(9 - 7)!) = 9! / (7!2!) = (9 * 8 * 7!) / (7! * 2 * 1) = (9 * 8) / (2 * 1) = 36.

Таким образом, способов выбрать 7 предметов из 9 будет 36.

б) Для выбора 2 предметов из 6 используется та же формула комбинаторики: C(6, 2) = 6! / (2!(6 - 2)!) = 6! / (2!4!) = (6 * 5 * 4!) / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.

Способов выбрать 2 предмета из 6 будет 15.

в) Для выбора 4 предметов из 7: C(7, 4) = 7! / (4!(7 - 4)!) = 7! / (4!3!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (4! * 3 * 2 * 1) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35.

Таким образом, способов выбрать 4 предмета из 7 будет 35.

г) Для выбора 5 предметов из 10: C(10, 5) = 10! / (5!(10 - 5)!) = 10! / (5!5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6!) / (5! * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252.

Способов выбрать 5 предметов из 10 будет 252.