Question

Найдите sin A, если : a) ctg A = 2; б) ctg A = 1.​

Answer 1

$a)\; \; ctgA=2\\\\1+ctg^2A=\frac{1}{sin^2A}\; \; \to \; \; sinA=\pm \sqrt{\frac{1}{1+ctg^2A}}=\pm \sqrt{\frac{1}{1+4}}=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}=\pm \frac{1}{\sqrt5}=\pm \frac{\sqrt5}{5}\\\\\\2)\; \; ctgA=1\\\\sinA=\pm \sqrt{\frac{1}{1+1}}=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{1}{\sqrt2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}$

Answer 2

a) Для нахождения sin A, когда ctg A равно 2, можно использовать тригонометрическое соотношение:

ctg A = 1/tan A

Поэтому:

1/tan A = 2

Преобразуем это соотношение:

tan A = 1/2

Затем найдем sin A, используя следующее тригонометрическое соотношение:

sin A = sqrt(1 - cos^2 A)

Так как tan A = 1/2, можно записать:

tan^2 A + 1 = sec^2 A

Используя тригонометрическую формулу:

1 + cos^2 A = sec^2 A

Так как sec A = 1/cos A, можно записать:

1 + cos^2 A = (1/cos A)^2

Упростив это выражение, получим:

1 + cos^2 A = 1/cos^2 A

Переносим все слагаемые влево:

cos^2 A + 1 - 1/cos^2 A = 0

Умножим все слагаемые на cos^2 A:

(cos^2 A)^2 + cos^2 A - 1 = 0

Обозначим cos^2 A как x:

x^2 + x - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение x^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = 1, и c = -1:

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

x = (-1 ± sqrt(1^2 - 4(1)(-1))) / (2(1))

x = (-1 ± sqrt(1 + 4)) / 2

x = (-1 ± sqrt(5)) / 2

Так как cos A = sqrt(x), получаем два значения для cos A:

cos A = sqrt((-1 + sqrt(5)) / 2) или cos A = sqrt((-1 - sqrt(5)) / 2)

Значение ctg A = 2 соответствует положительному значению cos A:

cos A = sqrt((-1 + sqrt(5)) / 2)

Теперь, чтобы найти sin A, используем тригонометрическое соотношение:

sin A = sqrt(1 - cos^2 A)

sin A = sqrt(1 - ((-1 + sqrt(5)) / 2)^2)

sin A = sqrt(1 - (1 - 2sqrt(5) + 5) / 4)

sin A = sqrt((4 - (1 - 2sqrt(5) + 5)) / 4)

sin A = sqrt((8 - 1 + 2sqrt(5) - 5) / 4)

sin A = sqrt((2 + 2sqrt(5)) / 4)

sin A = sqrt(2(1 + sqrt(5)) / 4)

sin A = sqrt((1 + sqrt(5)) / 2)

Поэтому sin A равно sqrt((1 + sqrt(5)) / 2