Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x^2+1/x-1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x^2 + \frac{1}{x} - 1$, нужно проанализировать её производную. Давайте найдём производную функции $f(x)$ с помощью правила дифференцирования.

$f'(x) = (x^2 + \frac{1}{x} - 1)' = 2x - \frac{1}{x^2}$

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, необходимо найти значения $x$, при которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует, а затем проанализировать знак производной в этих точках и между ними.

1. Найдём точки, где $f'(x) = 0$: $2x - \frac{1}{x^2} = 0$

Домножим уравнение на $x^2$ для упрощения: $2x^3 - 1 = 0$

Решив это уравнение, получим одно значение $x$: $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

2. Проверим знак производной $f'(x)$ на трёх интервалах: a) При $x < \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ Выберем, например, $x = 0$ для проверки знака производной: $f'(0) = (2 \cdot 0) - \frac{1}{0^2} = 0 - \text{неопределено}$

b) В точке $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ $f'(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}) = (2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^2}$

c) При $x > \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ Выберем, например, $x = 1$ для проверки знака производной: $f'(1) = (2 \cdot 1) - \frac{1}{1^2} = 2 - 1 = 1$

Исходя из знаков производной на этих интервалах, можно сделать следующие выводы:

• На интервале $x < \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ функция $f(x)$ убывает.
• В точке $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ функция имеет экстремум (минимум или максимум).
• На интервале $x > \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ функция 0 0