Question

На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставился один из баллов: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся 7 школьников с одинаковыми суммарными баллами?

Answer 1

Ответ: да, верно.

Суммарное количество всевозможных комбинаций результатов - 10 штук (от 6=2+2+2 до 15=5+5+5). Пусть исходное утверждение неверно. Тогда можно распределить суммарные баллы между учениками так, чтобы каждую из сумм получило не более 6 учеников. Однако, в таком случае, максимально возможное количество учеников, направленных на покрытие каждой суммы таким образом, составит 6*10=60<65. Таким образом, хотя бы один из пяти оставшихся неизбежно будет 7-ым по счёту учеником, имеющим тот же результат, что и 6 других его коллег. Противоречие. Следовательно, исходное утверждение верно.

Answer 2

Да, верно. Для решения этой задачи мы можем использовать принцип Дирихле (или принцип ящиков). В данном случае у нас есть 65 школьников и 4 возможных балла для каждой контрольной работы, поэтому у нас есть 4^3 = 64 возможных комбинации суммарных баллов. Так как у нас 65 школьников, то по принципу Дирихле как минимум одна комбинация будет повторяться для 7 школьников.

Таким образом, найдутся 7 школьников с одинаковыми суммарными баллами.