Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-4x+2 и y=-x^2+6x-6

Answer 1

Заданная площадь ограничена с одной стороны (сверху)
$y=-x^2+6x-6$
с другой стороны (снизу)
$y=x^2-4x+2$

Суть решения сводится к поиску площади ограниченной $y=-x^2+6x-6$  и минус площади ограниченной $y=x^2-4x+2$

Пределы интегрирования можно найти решив уравнение
$x^2-4x+2=-x^2+6x-6$
Это можно решить самостоятельно.

Я, пределы интегрирования, возьму с графика от 1 до 4

$S = S_1 - S_2 = \int\limits^4_1 {(-x^2+6x-6)} \, dx - \int\limits^4_1 {(x^2-4x+2)} \, dx =$

$= \int\limits^4_1 {(-2x^2+10x-8)} \, dx = \\ \\ =-{{2\,x^3}\over{3}}|_1^4+5\,x^2|_1^4-8\,x|_1^4 = - \frac{128}{3}+ \frac{2}{3}+80-5-32+8 = 9$

Ответ: 9 кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними по оси x.

Для начала найдем точки пересечения двух кривых. Решим уравнение:

x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 6

Перенесем все члены в одну сторону:

2x^2 - 10x + 8 = 0

Разложим его на множители:

(2x - 2)(x - 4) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 1 и x = 4.

Теперь вычислим интеграл площади между этими точками:

Площадь = ∫(y2 - y1) dx

где y2 = -x^2 + 6x - 6 и y1 = x^2 - 4x + 2.

Интегрируем от x = 1 до x = 4:

Площадь = ∫((-x^2 + 6x - 6) - (x^2 - 4x + 2)) dx = ∫(-2x^2 + 10x - 8) dx

Для вычисления этого интеграла возьмем антипроизводную каждого члена по отдельности:

∫(-2x^2 + 10x - 8) dx = (-2/3)x^3 + 5x^2 - 8x + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = ((-2/3)(4^3) + 5(4^2) - 8(4)) - ((-2/3)(1^3) + 5(1^2) - 8(1)) = (-128/3 + 80 - 32) - (-2/3 + 5 - 8) = (-128/3 + 80 - 32) + (2/3 - 5 + 8) = (-128/3 + 48) + (-5/3 + 8) = (-128 + 144) + (-5 + 24) = 16 + 19 = 35

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна 35 квадратным единицам.