Question

Даны точки А(1;1;1) B(2;13;1) C(14;1;1) Найти углы и стороны треугольника ABC

Answer 1

AB = (1, 12, 0)
$ab = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (13 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2} } = \sqrt{1 + 144} = \sqrt{145}$
BC = (12,-12,0)
$bc = \sqrt{ {(14 - 2)}^{2} + {(1 - 13)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} } = \sqrt{144 + 144} = 12 \sqrt{2}$
AC = (13,0,0)
$ac = \sqrt{(14 - 1)^{2} + \sqrt{(1 - 1)^{2} + {(1 - 1)}^{2} } } = \sqrt{169} = 13$
$\cos( \alpha ) = \frac{ab \times ac}{ \sqrt{145} \times 13} = \frac{13 }{ \sqrt{145} \times 13 } = \frac{1}{ \sqrt{145} }$
$\cos( \gamma ) = \frac{ac \times bc}{12 \sqrt{2} \times 13} = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
$\cos( \beta ) = \frac{ab \times bc}{ \sqrt{145} \times 12 \sqrt{2} } = \frac{12 - 144}{ \sqrt{145} \times 12 \sqrt{2} } = - \frac{11}{ \sqrt{290} }$

Answer 2

Для нахождения углов и сторон треугольника ABC, сначала найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((2 - 1)^2 + (13 - 1)^2 + (1 - 1)^2) = √(1 + 144 + 0) = √145

Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((14 - 2)^2 + (1 - 13)^2 + (1 - 1)^2) = √(144 + 144 + 0) = √288 = 12√2

Длина стороны AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((14 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 1)^2) = √(169 + 0 + 0) = √169 = 13

Теперь, чтобы найти углы треугольника, мы можем использовать косинусную теорему. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC, а α, β и γ - соответствующие углы.

Косинусная теорема: cos α = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos β = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos γ = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Угол α: cos α = (12√2^2 + 13^2 - √145^2) / (2 * 12√2 * 13) = (288 + 169 - 145) / (24√2 * 13) = 312 / (24√2 * 13) = 6 / (√2 * 13) = 6√2 / 26 = 3√2 / 13

Угол β: cos β = (√145^2 + 13^2 - 12√2^2) / (2 * √145 * 13) = (145 + 169 - 288) / (2 * √145 * 13) = 26 / (2 * √145 * 13) = √2 / 13

Угол γ: cos γ = (√145^2 + 12√2^2 - 13^2) / (2 * √145 * 12√2) = (145 + 288 - 169) / (2 * √145 * 12√2) = 264 / (2 * √145 *