Question

Обчисліть інтеграл (x+корень из x)2*dx

Answer 1

$\displaystyle \int (x+\sqrt x)^2\, dx=\\ \int (x^2+2x\sqrt x+x)\, dx=\\ \int (x^2+2x^{\tfrac{3}{2}}+x)\, dx=\\ \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^{\tfrac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}}+\dfrac{x^2}{2}+C=\\ \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{4x^{\tfrac{5}{2}}}{5}+\dfrac{x^2}{2}+C$

Answer 2

Щоб обчислити цей інтеграл, спочатку розкриємо квадрат виразу (x + √x)²:

(x + √x)² = x² + 2x√x + (√x)² = x² + 2x√x + x

Тепер ми можемо обчислити інтеграл:

∫(x + √x)² dx = ∫(x² + 2x√x + x) dx = ∫x² dx + ∫2x√x dx + ∫x dx

Обчислимо кожен окремий інтеграл:

∫x² dx = (1/3)x³ + C1, де C1 - довільна константа

Для обчислення ∫2x√x dx можемо використати підстановку: Позначимо u = √x, тоді du = (1/2√x) dx, або dx = 2√x du.

∫2x√x dx = 2∫x^(3/2) dx = 2∫u^3 du = (2/4)u^4 + C2, де C2 - довільна константа = (1/2)u^4 + C2 = (1/2)(√x)^4 + C2 = (1/2)x^2 + C2

∫x dx = (1/2)x² + C3, де C3 - довільна константа

Тепер можемо скласти всі інтеграли:

∫(x + √x)² dx = ∫x² dx + ∫2x√x dx + ∫x dx = (1/3)x³ + C1 + (1/2)x^2 + C2 + (1/2)x² + C3 = (1/3)x³ + (1/2)x^2 + (1/2)x² + C1 + C2 + C3 = (1/3)x³ + x^2 + C, де C = C1 + C2 + C3

Таким чином, остаточний результат інтегрування виразу (x + √x)² дорівнює (1/3)x³ + x^2 + C, де C - константа.