Question

F(x)=ФИГУРНАЯ СКОБКА СКОБКА 2^x, при x<2 ; 4+корень(x-2) при x>2 построить график функции f(x) и выяснить а)имеет ли эта функция предел при х-->2 б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой в) на каких промежутках функция непрерывна

Answer 1

Решение во вложении
------------------------------------

Answer 2

Чтобы построить график функции F(x) = {2^x, при x < 2; 4 + корень(x-2), при x > 2}, можно следовать следующим шагам:

1. Постройте график функции y = 2^x для x < 2:

   • При x = 0, значение функции равно 2^0 = 1.
   • При x = 1, значение функции равно 2^1 = 2.
   • Постройте график прямой, проходящей через эти две точки.

2. Постройте график функции y = 4 + корень(x-2) для x > 2:

   • Найдите значения функции для нескольких точек, например, при x = 3, 4 и 5.
   • Постройте график функции, соединив полученные точки.

3. Объедините оба графика в одном координатном пространстве.

Относительно пределов и непрерывности функции:

а) Чтобы выяснить, имеет ли функция предел при x --> 2, нужно рассмотреть левый и правый пределы функции в точке x = 2:

• Левый предел: lim(x->2-) F(x) = lim(x->2-) 2^x = 2^2 = 4.
• Правый предел: lim(x->2+) F(x) = lim(x->2+) (4 + корень(x-2)) = 4 + корень(2-2) = 4. Оба предела равны 4, поэтому функция F(x) имеет предел при x --> 2, и он равен 4.

б) Функция F(x) является непрерывной на всей числовой прямой, за исключением точки x = 2, так как функция состоит из двух непрерывных частей.

в) Функция непрерывна на следующих промежутках:

• (-∞, 2) - непрерывна, так как состоит из одной непрерывной функции 2^x.
• (2, +∞) - непрерывна, так как состоит из одной непрерывной функции 4 + корень(x-2).
• Точка x = 2 не включена в непрерывность функции.

Обратите внимание, что мои ответы основаны на заданных условиях функции F(x).