Question

Интеграл корень из (1-e^2x)

Answer 1

X-(e^2x)/2 вот решение)

Answer 2

Чтобы вычислить интеграл ∫√(1 - e^(2x)) dx, мы можем сделать замену переменной. Пусть u = 1 - e^(2x), тогда du/dx = -2e^(2x), а dx = du / (-2e^(2x)). Заменив переменные в исходном интеграле, получим:

∫√(1 - e^(2x)) dx = ∫√u * (-1/2e^(2x)) du

Обратите внимание, что в выражении e^(2x) = e^(2x) * 1 = e^(2x) * (1 - e^(2x)) / (1 - e^(2x)). Теперь мы можем заменить корень из (1 - e^(2x)) с помощью переменной u:

∫√(1 - e^(2x)) dx = ∫√u * (-1/2e^(2x)) du = -1/2 ∫(√u * e^(2x)) / e^(2x) du = -1/2 ∫(√u * e^(2x) / (1 - e^(2x))) * (1 - e^(2x)) du = -1/2 ∫(√u * e^(2x) / (1 - e^(2x))) * (1 - e^(2x)) du = -1/2 ∫(√u * e^(2x) / (1 - e^(2x))) * (1 - e^(2x)) du = -1/2 ∫(√u * e^(2x) * (1 - e^(2x))) / (1 - e^(2x)) du = -1/2 ∫√u * e^(2x) du = -1/2 ∫√u * (-1/2) du (так как dx = du / (-2e^(2x))) = 1/4 ∫√u du

Теперь мы можем вычислить интеграл ∫√u du. Подставим обратно u = 1 - e^(2x):

∫√u du = ∫√(1 - e^(2x)) du = ∫√(1 - e^(2x)) * du/dx * dx = ∫√(1 - e^(2x)) * (-2e^(2x)) * dx = -2 ∫(e^(2x) - e^(4x)) dx = -2 (∫e^(2x) dx - ∫e^(4x) dx) = -2 (1/2 * e^(2x) - 1/4 * e^(4x)) + C

где C - постоянная интегрирования. Таким образом, окончательный ответ:

∫√(1 - e^(2x)) dx = -1/2 * e^(2x) + 1/2 * e^(4x) + C

где C - произвольная постоянная.