Question

Сколько корней имеет уравнение (sin^4x - cos^4x)log2(1-x^2) = 0 Никак не разберусь, помогите пожалуйста.

Answer 1

ОДЗ
1-x²>0⇒(1-x)(1+x)>0
x=1  x=-1
               _                +              _
_______________________________
                     -1                   1
x∈(-1;1)
sin^4x - cos^4x=0
(sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x)=0
-cos2x=0
2x=π/2+πn
x=π/4+πn/2
x=π/4∈(-1;1)
log2(1-x²) = 0
1-x²=1
x²=0
x=0∈(-1;1)
Ответ x={0;π/4}

Answer 2

Чтобы определить количество корней у данного уравнения, нужно решить два уравнения, образованных равенством каждого множителя нулю:

1. sin^4(x) - cos^4(x) = 0
2. log2(1 - x^2) = 0

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение 1: sin^4(x) - cos^4(x) = 0

Мы можем заметить, что данное уравнение является разностью квадратов:

(sin^2(x) - cos^2(x))(sin^2(x) + cos^2(x)) = 0

Используя тригонометрические тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1, получим:

(sin^2(x) - cos^2(x))(1) = 0

(sin^2(x) - cos^2(x)) = 0

Далее мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x) и подставить его вместо sin^2(x):

(1 - cos^2(x) - cos^2(x)) = 0

1 - 2cos^2(x) = 0

2cos^2(x) = 1

cos^2(x) = 1/2

cos(x) = ±√(1/2)

Теперь у нас есть две возможности для значения cos(x):

1. cos(x) = √(1/2) = 1/√2 = √2/2
2. cos(x) = -√(1/2) = -1/√2 = -√2/2

Мы можем использовать обратную функцию косинуса, чтобы определить значения x:

1. x = arccos(√2/2)
2. x = arccos(-√2/2)

Уравнение 2: log2(1 - x^2) = 0

Логарифм с основанием 2 равен нулю только тогда, когда аргумент равен 1:

1 - x^2 = 1

x^2 = 0

x = 0

Таким образом, мы получаем три потенциальных значения для x: x = arccos(√2/2), x = arccos(-√2/2) и x = 0.

Однако, мы должны проверить, лежат ли эти значения в области допустимых значений. В данном случае, область допустимых значений для аргумента функции логарифма log2(1 - x^2) - это интервал (-1, 1), так как аргумент должен находиться в пределах от -1 до 1, чтобы логарифм имел значение.

Из наших потенциальных значений только x = 0 попадает в этот интервал, поэтому единственным кор