Question

 12. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно?

Answer 1

Ноль получится тогда и только тогда, когда 2 умножается на 5. Двоек в этом разложении гораздо больше, чем пятерок (одних только четных чисел 50). Нужно посчитать только количество пятерок в этом разложении. Пятерки дают числа 5, 10, 15, ..100. Все эти числа кроме 25, 50, 75, 100 дают по одной пятерке. Числа 25, 50, 75, 100 дают по две пятерки. Итого в разложении 100! на простые множители содержится 24 пятерки. Значит произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 заканчивается 24 нулями.

Answer 2

Чтобы определить, сколько нулей содержится в конце произведения всех целых чисел от 1 до 100, необходимо определить количество множителей 10, которые входят в это произведение. Поскольку число 10 является произведением чисел 2 и 5, нам нужно найти количество пар 2 и 5, которые входят в произведение от 1 до 100.

Количество чисел, кратных 2, в этом диапазоне, можно найти, разделив 100 на 2 и округлив вниз: 100 / 2 = 50. Количество чисел, кратных 5, можно также найти, разделив 100 на 5 и округлив вниз: 100 / 5 = 20.

Однако некоторые числа в диапазоне могут быть кратны как 2, так и 5, и при этом содержать несколько множителей 10. Чтобы учесть это, необходимо проверить, сколько раз каждое из чисел 2 и 5 встречается в промежуточных значениях и учесть это в общем подсчёте.

Сколько раз число 2 встречается в промежуточных значениях? 100 / 2 = 50 (первый разделитель на 2) 50 / 2 = 25 (второй разделитель на 2) 25 / 2 = 12 (третий разделитель на 2) 12 / 2 = 6 (четвёртый разделитель на 2) 6 / 2 = 3 (пятый разделитель на 2) 3 / 2 = 1 (шестой разделитель на 2)

Сколько раз число 5 встречается в промежуточных значениях? 100 / 5 = 20 (разделитель на 5)

Таким образом, число 2 встречается 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 раз, а число 5 встречается 20 раз.

Теперь нам нужно выбрать меньшее из этих двух значений, поскольку количество нулей в произведении определяется наименьшим количеством множителей 10. В данном случае меньшее значение равно 20.

Следовательно, произведение всех целых чисел от 1 до 100 оканчивается 20 нулями.