Question

С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа: а) 24 и 35 б) 56 и 99 в) 63 и 88 г) 12 и 25 д) 32 и 33

Answer 1

А)24|2 35|5 б)56|2 99|3 в) 63|3 88|2 г)12|2 25|5
12|2 7|7 28|2 33|3 21|3 44|2 6|2 5|5
6|2 1| 14|2 11|11 7|7 22|2 3|3 1|
3|3 7|7 1| 1| 11|11 1|
1| 1| 1|

Answer 2

Чтобы доказать, что два числа являются взаимно простыми, нужно показать, что у них нет общих простых множителей, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Мы можем использовать разложение на простые множители для вычисления НОД и проверки, являются ли числа взаимно простыми.

а) Разложение чисел на простые множители: 24 = 2^3 * 3 35 = 5 * 7

Наибольший общий делитель (НОД) для 24 и 35 можно найти, учитывая только общие простые множители с наименьшими показателями степени: НОД(24, 35) = 2^0 * 3^0 * 5^0 * 7^0 = 1

Поскольку НОД(24, 35) равен 1, 24 и 35 являются взаимно простыми числами.

б) Разложение чисел на простые множители: 56 = 2^3 * 7 99 = 3^2 * 11

Наибольший общий делитель (НОД) для 56 и 99: НОД(56, 99) = 2^0 * 3^0 * 7^0 * 11^0 = 1

Поскольку НОД(56, 99) равен 1, 56 и 99 являются взаимно простыми числами.

в) Разложение чисел на простые множители: 63 = 3^2 * 7 88 = 2^3 * 11

Наибольший общий делитель (НОД) для 63 и 88: НОД(63, 88) = 2^0 * 3^0 * 7^0 * 11^0 = 1

Поскольку НОД(63, 88) равен 1, 63 и 88 являются взаимно простыми числами.

г) Разложение чисел на простые множители: 12 = 2^2 * 3 25 = 5^2

Наибольший общий делитель (НОД) для 12 и 25: НОД(12, 25) = 2^0 * 3^0 * 5^0 = 1

Поскольку НОД(12, 25) равен 1, 12 и 25 являются взаимно простыми числами.

д) Разложение чисел на простые множители: 32 = 2^5 33 = 3 * 11

Наибольший общий делитель (НОД) для 32 и 33: НОД(32, 33) = 2