Question

Скалярное произведение векторов. а=7 b=5 1.Вершины треугольника A(1; -2a), B(b; -5) и C(0;a+b). Найдите углы треугольника. Заранее спасибо.

Answer 1

1. Вычисляем координаты вершин, подставляя значения для a и b.
A(1;-14), B(5;-5), C(0;12)
2. Будем искать углы треугольника, как углы между парами векторов, совпадающих со сторонами треугольника. Для этого определим соответствующие векторы. Для векторов я буду использовать подчеркивание вместо надчеркивания (знака вектора) Угол А образован векторами АВ и АС. Определим эти векторы.
AB(5-1;-5+14) ⇒ AB(4,9); AC(0-1;12+14) ⇒ AC(-1;26)
Угол B образован векторами BA и BC. Определим эти векторы.
BA(1-5;-14+5) ⇒ BA(-4;-9) - заметим, что координаты BA получились с обратными знаками по отношению к AB - это пригодится, чтобы меньше вычислять в дальнейшем.
BC(0-5;12+5) ⇒ BC(-5;17)
Угол С образован векторами CA и C B. Определим эти векторы.
CA(1;-26) - ранее AC уже был определен.
CB(5;-17) - ранее BC уже был определен.
3. Косинус угла между векторами u и v определяется по формуле
$\frac{uv}{|u||v|}$
Определяем угол А.
Вычислим скалярное произведение AB× AC = 4×(-1)+9×26 = 230
Вычислим длины этих векторов, получим √(4²+9²)=√97 и √((-1)²+26³)=√677
Тогда cos(A)=230/√(97×677) = 0.898; A=26.1 град
Аналогично найдем BA× BC = (-5)×(-4)-9*17 = -133
Длины векторов составят √((-4)²+(-9)²)=√97 и √((-5)²+17²)=√314
cos(B)=-133/√(97*314) = -0.76; B=139.6 град
Для определения угла С получаем СA× CB = 1×5+(-26)×(-17) = 447
Длины этих векторов совпадают с длинами уже найденных, противоположно направленных векторов и составляют √677 и √314
cos(C)=447/√(677×314) = 0.97; C=14.2 град.

Проверка: найдем сумму всех трех полученных углов:
26.1+139.6+14.2=180.

Answer 2

Для нахождения углов треугольника, можно использовать скалярное произведение векторов.

Сначала найдем векторы AB и AC, зная координаты точек A, B и C:

Вектор AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) = (b - 1, -5 - (-2a)) = (b - 1, -5 + 2a)

Вектор AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁) = (0 - 1, (a + b) - (-2a)) = (-1, 3a + b)

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и AC:

AB · AC = (b - 1) * (-1) + (-5 + 2a) * (3a + b)

Раскроем скобки:

AB · AC = -b + 1 - 15a - 5b + 6a² + 2ab

Угол между векторами AB и AC можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.

Для нахождения углов треугольника найдем значения cos(θ) для каждого угла, используя скалярное произведение и длины векторов:

cos(θ₁) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) cos(θ₂) = (BC · BA) / (|BC| * |BA|) cos(θ₃) = (CA · CB) / (|CA| * |CB|)

Для этого нам понадобится также найти векторы BC и BA, а также их длины:

Вектор BC = (x₃ - x₂, y₃ - y₂) = (0 - b, (a + b) - (-5)) = (-b, a + b + 5)

Вектор BA = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) = (1 - b, -2a - (-5)) = (1 - b, -2a + 5)

Теперь найдем длины векторов:

|AB| = √((b - 1)² + (-5 + 2a)²) |AC| = √((-1)² + (3a + b)²) |BC| = √((-b)² + (a + b + 5)²) |BA| = √((1 - b)² + (-2a + 5)²)

Подставив все значения в формулы для cos(θ₁), cos(θ₂) и cos(θ₃), мы сможем найти значения косинусов и затем углы треугольника.

Информация о значениях переменных a и b не предоставлена, поэтому я не могу вычислить конкретные углы треугольника.