Question

Комплексные числа z^3=3-3i Найти все решения уравнения

Answer 1

Ответ

Все решения уравнения найдены:

Z1=1,6+0,4i

Z2=-1,2+1,2i

Z3=-0,4+1,6i

Answer 2

Для решения уравнения z^3 = 3 - 3i, мы должны найти все значения комплексного числа z, которые удовлетворяют этому условию.

1. Первым шагом вычислим модуль и аргумент числа 3 - 3i: Модуль: |3 - 3i| = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3sqrt(2) Аргумент: arg(3 - 3i) = arctan((-3) / 3) = arctan(-1) = -π/4

2. Теперь мы можем представить число 3 - 3i в тригонометрической форме: 3 - 3i = 3sqrt(2) * (cos(-π/4) + i*sin(-π/4))

3. Чтобы найти кубические корни этого числа, мы возведем модуль в куб и утроим аргумент: |z|^3 = (3sqrt(2))^3 = 54 3arg(z) = 3*(-π/4) = -3π/4

4. Теперь найдем корни из 54 и -3π/4: Корень из 54: sqrt(54) = sqrt(9 * 6) = 3sqrt(6) Корень из -3π/4: √(-3π/4) = √(-3) * √(π/4) = i√3 * (√π/2) = i√(3π/2)

5. Теперь мы можем записать три решения уравнения: z₁ = 3sqrt(6) * (cos(-π/12) + isin(-π/12)) z₂ = 3sqrt(6) * (cos(7π/12) + isin(7π/12)) z₃ = 3sqrt(6) * (cos(15π/12) + i*sin(15π/12))

Таким образом, все решения уравнения z^3 = 3 - 3i записываются в виде комплексных чисел: z₁ = 3sqrt(6) * (cos(-π/12) + isin(-π/12)) z₂ = 3sqrt(6) * (cos(7π/12) + isin(7π/12)) z₃ = 3sqrt(6) * (cos(15π/12) + i*sin(15π/12))