Question

Докажите что 10 в 15 степени + 8 без остатка делится на 6

Answer 1

10¹⁵ делится на 2 и на 5
8 делится на 2
10¹⁵+8=(10¹⁵-1)+9
10¹⁵⁻1 делится на 9, и, соответственно, на 3, т.к. 10¹⁵-1 - число, которое приписывается только цифрой 9 (14 цифр 9), и 9 делится на 3 ⇒ число делится как на 2, так и на 3 ⇔ число делится на 6

Answer 2

Для доказательства того, что число 10 в 15-й степени плюс 8 без остатка делится на 6, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый шаг. Проверим, что утверждение верно для начального значения. Подставим 0 вместо 15 в выражение и убедимся, что получаемое число делится на 6 без остатка: 10^0 + 8 = 1 + 8 = 9. 9 без остатка делится на 6, так как 9 = 6 * 1.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого значения k, то есть 10^k + 8 без остатка делится на 6.

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что утверждение верно для значения k+1, используя предположение индукции. 10^(k+1) + 8 = 10 * 10^k + 8 = (6 + 4) * 10^k + 8 = 6 * 10^k + 4 * 10^k + 8.

По предположению индукции, 10^k + 8 делится на 6 без остатка, поэтому можем записать: 6 * 10^k + 4 * 10^k + 8 = 6 * 10^k + (6 - 2) * 10^k + 8 = (6 + 6 - 2) * 10^k + 8 = 12 * 10^k + 8.

12 * 10^k + 8 = 6 * (2 * 10^k) + 8.

Поскольку 2 * 10^k - это целое число, оно делится на 6 без остатка, а также 8 без остатка делится на 6, получаем: 6 * (2 * 10^k) + 8 делится на 6 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1.

Исходя из принципа математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел. Поэтому число 10 в 15-й степени + 8 без остатка делится на 6.