Question

2sin^2x+sinxcosx-cos^2x=0 Решите уравнение

Answer 1

Делим все на cos^2x
получим:
$\frac{2sin^2x}{cos^2x} + \frac{sinx*cosx}{cos^2x} - \frac{cos^2x}{cos^2x} =0 \\2*( \frac{sinx}{cosx} )^2+( \frac{sinx}{cosx} )-1=0 \\2tg^2x+tgx-1=0 \\tgx=y \\2y^2+y-1=0 \\D=1+8=9=3^2 \\y_1= \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} \\y_2= \frac{-1-3}{4} =-1 \\tgx=\frac{1}{2} \\x_1=arctg( \frac{1}{2} )+\pi n,\ n \in Z \\tgx=-1 \\x_2= -\frac{\pi}{4} +\pi n,\ n \in Z$

Answer 2

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно функции sin(x). Давайте решим его.

2sin^2x + sinxcosx - cos^2x = 0

Мы можем использовать тригонометрическую тождества для упрощения этого уравнения. Заменим cos^2x на 1 - sin^2x:

2sin^2x + sinxcosx - (1 - sin^2x) = 0

Распределим минус во втором слагаемом:

2sin^2x + sinxcosx - 1 + sin^2x = 0

Сгруппируем слагаемые:

3sin^2x + sinxcosx - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим sin(x) как t:

3t^2 + tcost - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно t с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Дискриминант D для этого уравнения будет равен:

D = (cost)^2 - 4 * 3 * (-1) = cos^2t + 12

Если D ≥ 0, то у нас есть решения. Если D < 0, то решений нет.

D = cos^2t + 12 ≥ 0

Так как косинус может быть от -1 до 1, то D будет неотрицательным. Значит, у нас есть решения.

Теперь найдем t:

t = (-b ± √D) / (2a)

где a = 3, b = cos(t), D = cos^2t + 12

t = (-cost ± √(cos^2t + 12)) / 6

Поскольку мы обозначили t как sin(x), подставим sin(x) обратно:

sin(x) = (-cos(x) ± √(cos^2x + 12)) / 6

Таким образом, решениями данного уравнения являются значения sin(x), определенные выражением:

sin(x) = (-cos(x) ± √(cos^2x + 12)) / 6