Question

написать канонические уравнение гиперболы,если известно,что а)расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет равен 5/3

Answer 1

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\\\c^2=a^2+b^2=10^2=100\\\\e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}\; \; \to \; \; c=\frac{5a}{3}\\\\c^2=\frac{25a^2}{9}=100,\; \; \to \; \; a^2=\frac{900}{25}=36,\; a=6\\\\b^2=c^2-a^2=100-36=64\; \; \to \; \; b=8\\\\\\\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{8}=1$

Answer 2

Для нахождения канонического уравнения гиперболы, используем следующую формулу:

(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1

где (h, k) - координаты центра гиперболы, а a и b - полуоси.

Дано, что расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет равен 5/3.

Мы знаем, что эксцентриситет (e) выражается через полуоси (a и b) следующим образом:

e = c/a,

где c - расстояние от центра гиперболы до фокуса.

В данном случае, эксцентриситет e = 5/3. Зная эксцентриситет и расстояние между фокусами (2c = 10), можно найти полуось a.

e = c/a, 5/3 = c/a, c = (5/3)a.

Также, расстояние между фокусами равно 2c, поэтому:

2c = 10, 2(5/3)a = 10, (10/3)a = 10, a = 3.

Теперь, когда у нас есть значение полуоси a, мы можем найти значение полуоси b с использованием следующей формулы:

b² = a²(e² - 1).

Подставляя известные значения:

b² = 3²((5/3)² - 1), b² = 3²(25/9 - 1), b² = 3²(25/9 - 9/9), b² = 3²(16/9), b² = 3²(16)/3², b² = 16.

Таким образом, полуось b равна 4.

Итак, у нас есть значения полуосей a = 3 и b = 4. Центр гиперболы будет находиться в точке (h, k), которая неизвестна в данной задаче.

Каноническое уравнение гиперболы будет:

(x - h)²/3² - (y - k)²/4² = 1.

Обратите внимание, что значение центра (h, k) не указано в задаче, поэтому мы не можем полностью записать каноническое уравнение гиперболы.