Question

Четверо хлопців помітили, що якщо вони складуть всі свої гроші без першого, то зберуть 90 грн, без другого - 85 грн, без третього 80 грн, без четвертого - 75 грн. Скільки грошей у кожного?

Answer 1

$x_2+x_3+x_4=90\\x_1+x_3+x_4=85\\x_1+x_2+x_4=80\\x_1+x_2+x_3=75\\\\x_2-x_1=5\Rightarrow x_2=5+x_1\\x_3-x_2=5\Rightarrow x_3-(5+x_1)=5\Rightarrow x_3=10+x_1\\x_4-x_3=5\Rightarrow x_4-(x_1+10)=5\Rightarrow x_4=x_1+15\\x_2+x_3+x_4=90 \Rightarrow 3x_1+30=90\Rightarrow x_1=20\\\\x_1=20\Rightarrow x_2=25\Rightarrowx_3=30\Rightarrow x_4=35\\\\ x_1+x_2+x_3+x_4= 20+25+30+35=110$

Answer 2

Позначимо суми грошей, які мають кожен з хлопців, як A, B, C і D відповідно.

За умовою задачі, ми знаємо, що: A + B + C + D - A = 90 грн, A + B + C + D - B = 85 грн, A + B + C + D - C = 80 грн, A + B + C + D - D = 75 грн.

Спростимо кожне рівняння: B + C + D = 90 грн, A + C + D = 85 грн, A + B + D = 80 грн, A + B + C = 75 грн.

Тепер ми маємо систему з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими. Щоб знайти значення кожної змінної, ми можемо вирішити цю систему. Простий спосіб це зробити - відняти третє рівняння від другого, друге рівняння від першого і перше рівняння від четвертого:

(B + C + D) - (A + C + D) = 90 - 85, (A + C + D) - (A + B + D) = 85 - 80, (A + B + D) - (A + B + C) = 80 - 75.

Скорочуємо вирази: B - A = 5, C - B = 5, D - C = 5.

Ми бачимо, що різниці між сумами грошей сусідніх хлопців однакові і дорівнюють 5 грн. З цього можна зробити висновок, що кожен хлопець має по 5 грн більше, ніж попередній. Таким чином, можемо скласти таку таблицю:

A	B	C	D
x	x + 5	x + 10	x + 15

Знаючи це, ми можемо підставити вирази для B, C і D в перше рівняння (B + C + D = 90 грн):

x + (x + 5) + (x + 10) + (x + 15) = 90.

Складаємо вираз: 4x + 30 = 90.

Віднімаємо 30 з обох боків рівняння: 4x = 60.

Ділимо на 4: x = 15.

Таким чином, ми знаходим