Question

длина вектора ав равна 7 , длина вектора ас равна 4. косинус угла между этими векторами равен  -1/56. Найдите длину вектора АВ+АС

Answer 1

Длина вектора АВ равна 7, а длина вектора АС равна 4. Косинус угла между этими векторами равен -1/56.

Для решения задачи воспользуемся формулой косинуса для вычисления длины третьего вектора по длинам двух векторов и косинусу угла между ними:

|АВ|² = |АС|² + |ВС|² - 2 * |АС| * |ВС| * cos(угол между АС и ВС)

где |АВ| - длина вектора АВ, |АС| - длина вектора АС, |ВС| - длина вектора ВС, угол между АС и ВС - угол между векторами АС и ВС.

Мы знаем длины векторов АВ и АС, а также косинус угла между ними. Подставим известные значения в формулу:

7² = 4² + |ВС|² - 2 * 4 * |ВС| * (-1/56)

49 = 16 + |ВС|² + 8/7 * |ВС|

Перенесем все в одну сторону уравнения:

|ВС|² + 8/7 * |ВС| - 33 = 0

Это квадратное уравнение относительно |ВС|. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (8/7)² - 4 * 1 * (-33) = 64/49 + 132/7 = 64/49 + 924/49 = 988/49 = 20.1633

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

|ВС|₁ = (-8/7 + √(20.1633))/2 = 1.303 |ВС|₂ = (-8/7 - √(20.1633))/2 = -2.088

Длина вектора не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительный корень:

|ВС| = 1.303

Теперь найдем длину вектора АВ + АС, используя формулу:

|АВ + АС| = √(|АВ|² + |АС|² + 2 * |АВ| * |АС| * cos(угол между АВ и АС))

Подставим известные значения:

|АВ + АС| = √(7² + 4² + 2 * 7 * 4 * (-1/56))

|АВ + АС| = √(49 + 16 - 2/7)

|АВ + АС| = √(65 - 2/7)

|АВ + АС| = √(455/7 - 2/7)

|АВ + АС| = √(453/7)

|АВ + АС| = √(453)/√(7)

|АВ + АС| = √(453)/√(7) * √(7)/√(7)

|АВ + АС| = √(453 * 7)/7

|АВ + АС| = √(3171)/7

Таким образом, длина вектора АВ + АС равна √(3171)/7.