Question

Докажите,что трапеция равнобедренная,если диоганали трапеции равны

Answer 1

Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию и докажем, что если её диагонали равны, то она действительно является равнобедренной.

Пусть у нас есть равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD и AD = BC. Рассмотрим диагонали AC и BD.

1. Диагонали пересекаются в точке O: Так как AC и BD - диагонали, они пересекаются в какой-то точке O.

2. Основания параллельны: Так как AB || CD, то по свойству равнобедренной трапеции, углы между боковыми сторонами и основаниями равны. Таким образом, углы A и B равны, а углы C и D также равны.

3. Треугольники ABO и CDO подобны: Это следует из угловой схожести, так как углы A и B равны, а углы C и D равны. Также, углы BOA и DOC - вертикальные углы, и поэтому они также равны.

4. Соотношение сторон треугольников: Согласно угловой схожести треугольников ABO и CDO, отношение сторон AO/CO, BO/DO и AB/CD одинаково. Однако, поскольку AD = BC, то AB/CD = AD/CO = BC/CO.

5. Следовательно, AO = CO и BO = DO: Из предыдущего пункта следует, что AO = CO и BO = DO, так как соотношение сторон равно 1.

Таким образом, мы видим, что диагонали AC и BD разбивают трапецию на два подобных треугольника, и соответствующие стороны этих треугольников равны. Таким образом, трапеция ABCD является равнобедренной.