Question

Два отрезка АВ и СД пересекаются в точке О, которая является их общей серединой. Докажите, что АС||ВД.

Answer 1

Для начала рассмотрим треугольники АОС и ВОД.

Так как точка О является серединой отрезков АВ и СД, то отрезки АО и ВО равны по длине (по определению середины отрезка).

Кроме того, у треугольников АОС и ВОД есть общая сторона ОВ.

Теперь рассмотрим углы треугольников АОС и ВОД.

У треугольника АОС мы знаем, что угол САО - это угол ДОВ (они образуются пересекающимися прямыми АВ и СД и пересеками О).

Также известно, что угол ОАС = угол ОВД (они образуются смежными сторонами ОА и ОВ).

Таким образом, у треугольников АОС и ВОД совпадают все три угла: угол АОС = угол ВОД, угол САО = угол ДОВ, угол ОАС = угол ОВД.

По теореме о согласованных уголах для наших треугольников это означает, что треугольники АОС и ВОД подобны.

А поскольку два треугольника подобны, их соответствующие стороны пропорциональны.

Мы уже знаем, что отрезки АО и ВО равны (так как О - середина отрезков АВ и СД).

Поэтому можно установить пропорцию: АО/СО = ВО/ОD.

Приведем это к виду АО/ВО = СО/ОD.

Теперь рассмотрим прямую АС.

Она пересекает прямую ВД в точке, которая находится справа от О (так как О находится между А и С). Обозначим эту точку как Т.

Если АС || ВД, то отношение отрезков АТ и СТ должно быть равно отношению отрезков ВО и ОD.

Так как АО/ВО = СО/ОD, то получаем АТ/СТ = 1, или АТ = СТ.

Значит, точка Т совпадает с точкой О.

Это означает, что точка О является также точкой пересечения прямых АС и ВД.

Таким образом, мы доказали, что АС || ВД.