Question

Найдите периметр параллелограмма АВСМ, если биссектриса острого угла А параллелограмма делит сторону ВС на отрезки ВК=4см, КС=3 см

Answer 1

Для решения задачи нам нужно использовать свойства биссектрисы треугольника. Давайте обозначим стороны параллелограмма следующим образом:

- \(AB\) и \(DC\) будут основаниями параллелограмма; - \(BC\) и \(AD\) будут боковыми сторонами.

Поскольку биссектриса угла \(A\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BK\) и \(KC\) в отношении \(4:3\), мы можем обозначить \(BK\) как \(4x\) и \(KC\) как \(3x\), где \(x\) - коэффициент пропорциональности.

Таким образом, длина стороны \(BC\) будет равна сумме \(BK\) и \(KC\):

\[BC = BK + KC = 4x + 3x = 7x.\]

Мы знаем, что \(BC\) и \(AD\) - это параллельные стороны параллелограмма, поэтому они равны. Таким образом, длина стороны \(AD\) также равна \(7x\).

Теперь мы можем найти периметр параллелограмма, который равен сумме всех его сторон:

\[\text{Периметр} = AB + BC + CD + DA.\]

Подставим значения:

\[\text{Периметр} = AB + 7x + CD + 7x.\]

Теперь нам нужно использовать свойство параллелограмма: противоположные стороны равны. Таким образом, \(AB = CD\). Подставим это:

\[\text{Периметр} = CD + 7x + CD + 7x.\]

Упростим выражение:

\[\text{Периметр} = 2(CD) + 14x.\]

Теперь мы знаем, что биссектриса делит сторону \(BC\) на отрезки в отношении \(4:3\). Следовательно, длина стороны \(CD\) равна \(3x\).

Подставим это значение:

\[\text{Периметр} = 2(3x) + 14x.\]

Упростим выражение:

\[\text{Периметр} = 6x + 14x = 20x.\]

Теперь нам нужно найти значение \(x\). Мы знаем, что \(BK = 4x\), \(KC = 3x\), и отношение \(BK:KC = 4:3\). Подставим значения и решим уравнение:

\[\frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}.\]

Упростим:

\[4 = \frac{4}{3} \cdot 3x.\]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[12 = 4 \cdot x.\]

Решим для \(x\):

\[x = \frac{12}{4} = 3.\]

Теперь, когда у нас есть значение \(x\), мы можем найти периметр:

\[\text{Периметр} = 20x = 20 \cdot 3 = 60.\]

Таким образом, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(60\) см.