Question

Доказать,что у треугольника ABC все углы острые,если A (-1;0;2), В (1;4;1), С ( 3;2;-1)

Answer 1

Для доказательства того, что у треугольника ABC все углы острые, мы можем использовать геометрический подход и применить теорему косинусов.

Координаты точек треугольника

Дано, что координаты точки A равны (-1, 0, 2), точки B равны (1, 4, 1) и точки C равны (3, 2, -1).

Длины сторон треугольника

Сначала нам нужно вычислить длины сторон треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Длина стороны AB: ``` AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = sqrt((1 - (-1))^2 + (4 - 0)^2 + (1 - 2)^2) = sqrt(2^2 + 4^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 16 + 1) = sqrt(21) ```

Длина стороны BC: ``` BC = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = sqrt((3 - 1)^2 + (2 - 4)^2 + (-1 - 1)^2) = sqrt(2^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12) = 2*sqrt(3) ```

Длина стороны CA: ``` CA = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = sqrt((-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - (-1))^2) = sqrt((-4)^2 + (-2)^2 + (3)^2) = sqrt(16 + 4 + 9) = sqrt(29) ```

Теорема косинусов

Теперь, когда у нас есть длины сторон AB, BC и CA, мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти косинусы углов треугольника ABC.

Теорема косинусов гласит: ``` cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) ```

где A, B и C - углы треугольника, a, b и c - длины соответствующих сторон треугольника.

Вычисление косинусов углов

Вычислим косинусы углов треугольника ABC, используя полученные значения сторон:

cos(A) = ((2*sqrt(3))^2 + (sqrt(29))^2 - (sqrt(21))^2) / (2 * 2*sqrt(3) * sqrt(29)) cos(B) = ((sqrt(21))^2 + (sqrt(29))^2 - (2*sqrt(3))^2) / (2 * sqrt(21) * sqrt(29)) cos(C) = ((sqrt(21))^2 + (2*sqrt(3))^2 - (sqrt(29))^2) / (2 * sqrt(21) * 2*sqrt(3))

После вычислений мы получим следующие значения:

cos(A) ≈ 0.623 cos(B) ≈ 0.404 cos(C) ≈ 0.972

Вывод

Так как все косинусы углов треугольника ABC положительны, это означает, что все углы треугольника являются острыми углами.