Question

28 БАЛЛОВ!!!!!!СРОЧНО В равнобедренном треугольнике АВС на основании ас взята точка К так, что Ак:Кс =1:2,а на сторонах АВ и ВС- точки N и М соответственно ,так что КN|| BC,KM||AB,периметр четырехугольника KNBM равен 12 см.Найдите боковую сторону треугольника АВС и его площадь,если угол В =45°

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства подобных треугольников и пропорции.

Известные данные:

- В равнобедренном треугольнике АВС на основании АС взята точка К так, что АК:КС = 1:2. - На сторонах АВ и ВС находятся точки N и М соответственно. - При этом КN || ВС и KM || АВ. - Периметр четырехугольника KNBM равен 12 см. - Угол В равен 45°.

Решение:

Для начала, найдем длины отрезков АК и КС. Поскольку АК:КС = 1:2, то можно представить их длины как x и 2x соответственно, где x - некоторая положительная константа.

Так как КN || ВС, то треугольники АКN и АВС подобны. Поэтому, отношение длин сторон треугольников равно отношению длин соответствующих сторон: AK/АВ = KN/ВС.

Подставляем известные значения: x/(x + 2x) = KN/ВС.

Упрощаем уравнение: 1/3 = KN/ВС.

Аналогичным образом, поскольку KM || АВ, треугольники КМВ и АВС также подобны. Используя те же шаги, получаем: 2x/(x + 2x) = KM/АВ.

Упрощаем уравнение: 2/3 = KM/АВ.

Нахождение боковой стороны треугольника АВС:

Теперь, имея два уравнения, мы можем решить их относительно АВ и ВС. Начнем с уравнения AK/АВ = KN/ВС:

1/3 = KN/ВС.

Переставляем переменные, чтобы изолировать ВС: ВС = 3 * KN.

Аналогично, решим уравнение 2x/(x + 2x) = KM/АВ:

2/3 = KM/АВ.

Переставляем переменные, чтобы изолировать АВ: АВ = 3/2 * KM.

Теперь, зная, что периметр четырехугольника KNBM равен 12 см, можем записать уравнение: АК + KN + NM + МК = 12.

Подставляем значения: x + 1/3 * x + 2/3 * x + 2/3 * x = 12.

Упрощаем уравнение: 7/3 * x = 12.

Решаем относительно x: x = 12 * 3/7 = 36/7.

Теперь можем найти значения KN и KM: KN = 1/3 * x = 36/7 * 1/3 = 12/7, KM = 2/3 * x = 36/7 * 2/3 = 24/7.

Нахождение боковой стороны треугольника АВС:

Теперь, используя найденные значения KN и KM, можем найти боковую сторону треугольника АВС. Используем уравнение ВС = 3 * KN:

ВС = 3 * 12/7 = 36/7.

Нахождение площади треугольника АВС:

Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем использовать формулу для площади треугольника: S = 1/2 * АВ * ВС * sin(В).

Подставляем значения: S = 1/2 * 36/7 * 36/7 * sin(45°).

Вычисляем площадь: S = 18/7 * 36/7 * sqrt(2)/2 = 648/49 * sqrt(2) ≈ 19.89.

Ответ:

Таким образом, боковая сторона треугольника АВС равна 36/7 см, а его площадь примерно равна 19.89 квадратных сантиметров.