Question

1) Дано треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой BC, пересекает сторону AB в точке B1 а сторону AC - в точке C1. Найти длину отрезка B1C1 ,если BC = 32cм, а СC1 : C1A = 3:5. 2) Через точку О , что лежит между параллельными плоскостями альфа и бета ,проведено прямые l и m. Пряма l пересекает плоскости альфа и бета в точках A1 и A2 , а прямая m - в точках B1 и B2 соответственно. Найти длину отрезка OB1,если A1B1=12 см, A2B2= 28 см, B1B2= 8 см.

Answer 1

1) Так как плоскость параллельна стороне СВ, следовательно она пересевает стороны АС и АВ по С1В1, который будет параллелен СВ.
ΔС1АВ1 ~ Δ CAB по 3му признаку (по трем углам). Тогда выполняется следующее соотношение:
$\frac{CA}{C_1A} = \frac{CB}{C_1B_1} => \frac{8}{5} = \frac{32}{C_1B_1}=>C_1B_1=20$.
2) Так как α||β, то отрезки, А1В1||А2В2 (так как l и m прямые пересекаются, то по теореме через них можно провести плоскость, и при том только одну. Эта плоскость будет пересекать и α, и β по параллельным прямым).
Пусть ОВ1 = х, тогда ОВ2 = 8 - х.
ΔА1В1О ~ ΔA2B2O по 3му признаку (по трем углам). Тогда выполняется следующее соотношение:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2} => \frac{12}{28} = \frac{x}{8-x} =>3(8-x)=7x \\ 24-3x=7x \\ 10x=24 \\ x=2,4-OB_1$