Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8см, а величина двугранного угла при основании пирамиды равна 30 градусов. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Двугранный угол измеряется линейным углом между апофемой А и проекцией апофемы ПрАп на плоскость основания. Треугольник, образованный апофемой, высотой и проекцией апофемы на плоскость основания - прямоугольный. Против угла в 30 гр. лежит высота, значит апофема в два раза больше, т.е.  А = 16 см, а проекция апофемы ПрАп = 16* cos 30 = 16 sqrt(3)/2 = 8 sqrt(3).

Проекция апофемы является половиной стороны a квадрата основания, поэтому сторона основания a = 16 sqrt(3).

Площадь основания6 Sосн = a^2 = (16 sqrt(3))^2 = 256 * 3 = 768.

Площадь одной грани Sгр = 0.5 a * A = 0.5 * 16 sqrt(3) * 16 = 128 sqrt(3)

Площадь поверхности пирамиды Sпир =Sосн + 4Sгр = 768 + 4 * 128 sqrt(3)=

= 768 + 512 sqrt(3) = 256 * ( 3 +2sqrt(3)) = 768 + 512 *1,73 = 2660,43 кв.см

 

 

Answer 2

Площадь полной поверхности пирамиды можно найти, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания пирамиды равна площади равностороннего треугольника. Для этого треугольника известна длина его стороны a и угол при основании α.

У нас угол при основании равен 30 градусам. Зная, что треугольник равносторонний, можем найти угол при вершине треугольника β: β = 180 - 30 - 30 = 120 градусов

Теперь для нахождения длины стороны a воспользуемся тригонометрическими соотношениями при угле β: cos(β) = a/2 * a/2 0.5 = a^2/4 a^2 = 2 a = √2

Таким образом, длина стороны основания равна √2.

Площадь основания равностороннего треугольника: S_основания = (a^2 * √3) / 4 S_основания = ( (√2)^2 * √3 ) / 4 S_основания = (2 * √3) / 4 S_основания = √3 / 2

2. Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле для поверхности треугольной пирамиды: S_бок = (a * p) / 2

Где a - длина стороны основания, p - периметр основания. У нас сторона основания равна √2, поскольку треугольник равносторонний. Также вершина пирамиды является высотой прямоугольного треугольника, так что периметр основания равен 3 * √2.

S_бок = ( √2 * 3 * √2) / 2 S_бок = (3 * 2) / 2 S_бок = 3

3. Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности: S_полная = S_основания + S_бок S_полная = √3 / 2 + 3

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна (√3 / 2) + 3.