Question

Периметр ромба равен 148, а разность длин его диагоналей равна 46. Найдите длину меньшей из диагоналей этого ромба.

Answer 1

Периметр ромба равен P = 4a, где а - сторона ромба, отсюда а = P/4 = 148/4 = 37.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половины диагоналей за b и с. Тогда разность половин диагональ равна 1/2•46 = 23. Составим систему, используя теорему Пифагора:
37² = b² + c²
b - c = 23

1369 = (c + 23)² + c²
b = c + 23

1369 = c² + 46c + 529 + c²
b = c + 23

2c² + 46c - 840 = 0
b = c + 23

c² + 23c - 420 = 0
c1 + c2 = -23
c1•c2 = -420

c1 = -35 - не уд. условию
c2 = 12

с = 12
b = 12 + 23

c = 12
b = 35
Значит, половины диагоналей равны 12 и 35 см.
Длина меньшей диагонали равна 1/2•12 см = 24 см.
Ответ: 24 см.

Answer 2

Пусть сторона ромба равна а, а диагонали равны d1 и d2.

Известно, что периметр ромба равен 148, то есть 4а = 148, а значит а = 148/4 = 37.

Также известно, что разность длин диагоналей равна 46, то есть |d1 - d2| = 46.

Найдем длину большей диагонали. По свойству ромба, диагонали делят его на 4 равных треугольника. Так как сторона ромба равна 37, то каждый из этих треугольников - прямоугольный треугольник с катетами 37/2 = 18.5.

По теореме Пифагора, гипотенуза такого треугольника равна √(18.5^2 + 18.5^2) = √(342.25 + 342.25) = √(684.5) ≈ 26.16.

Таким образом, большая диагональ d1 ≈ 26.16 * 2 = 52.32.

Теперь найдем меньшую диагональ d2. По свойству ромба, диагонали делят его на 4 равных треугольника. Так как сторона ромба равна 37, то каждый из этих треугольников - прямоугольный треугольник с катетами 37/2 = 18.5.

По теореме Пифагора, гипотенуза такого треугольника равна √(18.5^2 + 18.5^2) = √(342.25 + 342.25) = √(684.5) ≈ 26.16.

Таким образом, меньшая диагональ d2 ≈ 26.16.

Ответ: длина меньшей из диагоналей этого ромба примерно равна 26.16.