Question

Сторона равностороннего треугольника равна 3. определите расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2

Answer 1

Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка, проведенного  перпендикулярно от точки к плоскости. 

Обозначим треугольник АВС, искомое расстояние МО, 

Так как расстояния от М до вершин треугольника равны, т.О - центр треугольника АВС и центр описанной около него окружности, в которой АО - радиус. 

Формула радиуса описанной окружности  $R= \frac{a}{ \sqrt{3}}$  ⇒  

R=3/√3=√3

АO=√3

∆ АМО - прямоугольный. 

По т.Пифагора 

МО=√(AM²-AO²)=√(4-3)=1 - это ответ. 

Answer 2

Чтобы определить расстояние от плоскости равностороннего треугольника до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2, можно воспользоваться свойствами равностороннего треугольника и его высотой.

Равносторонний треугольник обладает несколькими интересными свойствами. Например, высота, проведенная из вершины равностороннего треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника, а основание этого высоты является серединой стороны треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\). Тогда высота, проведенная из вершины, равна \(h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Это следует из того, что треугольник разбивается высотой на два равнобедренных треугольника, а основание этой высоты - это половина стороны треугольника.

Теперь, если точка находится на расстоянии 2 от каждой из вершин треугольника, то она будет находиться на расстоянии \(a+2\) от основания высоты (стороны треугольника).

Таким образом, расстояние от плоскости треугольника до точки, которая отстоит на 2 от каждой вершины, будет равно \(h + 2 = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\). Если сторона треугольника равна 3, то \(a = 3\), и расстояние будет:

\[3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\]

Вычислим это значение:

\[ \text{Расстояние} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \approx 3.598\]

Таким образом, расстояние от плоскости равностороннего треугольника до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2, составляет приблизительно 3.598.