Question

В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и С, пересекающие стороны BC и AD в точках M и N соответственно. Доказать, что AM=CN.

Answer 1

Треугольник АВМ = треугольнику СND по стороне и двум углам. АВ=CD - противоположные стороны параллелограмма. угол В= углу D. Вторые углы тр-ков равны как половинки равных противолежащих углов.

В равных тр-ках соответствующие стороны равны. AM=CN

Answer 2

Для доказательства того, что AM = CN в параллелограмме ABCD, мы можем использовать свойства биссектрис углов и параллельности сторон.

Доказательство:

1. Пусть P будет точкой пересечения биссектрис углов А и С. 2. По свойству биссектрисы, угол BAM равен углу CAM, и угол CNB равен углу CPB. 3. Также, по свойству параллелограмма, угол ABC равен углу CDA, а угол BCD равен углу DAB. 4. Из свойства биссектрисы следует, что угол CPB равен углу CPD. 5. Таким образом, у нас имеются следующие равенства углов: - Угол BAM = угол CAM - Угол CNB = угол CPB - Угол CPB = угол CPD - Угол CPD = угол DAB - Угол ABC = угол CDA - Угол BCD = угол DAB 6. Следовательно, у нас имеется цепочка равенств углов: - Угол BAM = угол CAM = угол CPB = угол CPD = угол DAB = угол ABC = угол CDA = угол BCD 7. Так как два треугольника BAM и CNB имеют равные углы, они подобны. 8. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. 9. Следовательно, AM/CN = AB/BC. 10. Но AB = CD и BC = AD, так как это параллелограмм. 11. Значит, AM/CN = CD/AD. 12. Так как CD = AD (это свойство параллелограмма), то AM/CN = 1. 13. Таким образом, AM = CN.

Таким образом, мы доказали, что AM = CN в параллелограмме ABCD, используя свойства биссектрис углов и параллельности сторон.