Question

на основании ac равнобедренного треугольника abc взята точка d так что сумма расстояний от неё до сторон ab и bc равна 12 см.Найдите высоту треугольника проведённую из вершины c.

Answer 1

В данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) РАВНЫ. Проведем эти высоты AL и CK. Расстояния от точки d на основании АС - это отрезки dm и dn, параллельные высотам CK и AL соответственно. Прямоугольные треугольники АКС и ALC равны, так как АС - общая гипотенуза, катеты КС и AL - равны и равны углы LAC и КСА (так как AL и КС биссектрисы). Итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники Adm и AKC, Cdn и CAL. Из их подобия имеем следующие отношения:

1)КС/dm=AC/Ad; 2)KC/dm=AC/dC. dm = 12-dn (дано) а  Ad = АС-dC. Подставляем и имеем:

из 1): KC/12-dn = AC/AC-dC отсюда KC*(AC-dC) = AC*(12-dn) далее KC*AC - KC*dC = 12AC - AC*dn. Из 2): КС*dС = AC*dn. Из второго вставляем в первое и получаем:

КС*АС - АС*dn = 12АС - АС*dn или КС*АС = 12АС. И окончательно КС = 12, что и надо было найти.

 

Answer 2

Предположим, что точка D делит сторону AB на отрезки AD и DB, такие что AD = DB = x. Также пусть точка D делит сторону BC на отрезки DC и CB, такие что DC = CB = y.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то сторона AC является высотой, проведенной из вершины C.

Сумма расстояний от точки D до сторон AB и BC равна 12 см, поэтому можно записать следующее уравнение:

AD + DC + DB + CB = 12 x + y + x + y = 12 2x + 2y = 12 2(x + y) = 12 x + y = 6

Так как AD = DB = x и DC = CB = y, то можно записать следующее уравнение:

AC = AD + DC AC = x + y

Из предыдущего уравнения мы знаем, что x + y = 6, поэтому AC = 6.

Таким образом, высота треугольника, проведенная из вершины C, равна 6 см.