Question

Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Answer 1

Решение в скане...............

Answer 2

Доказательство, что диагонали параллелограмма делятся пополам:

Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами параллелограмма.

Шаг 1: Предположим, что у нас есть параллелограмм ABCD, где AC и BD - диагонали.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники ABD и BCD. Обратите внимание, что эти треугольники имеют общую сторону AB и параллельные стороны AD и BC.

Шаг 3: По свойству параллельных линий, углы ABD и BCD будут равными, так как они соответственные углы при пересечении параллельных линий AD и BC.

Шаг 4: Также, по свойству параллелограмма, AD и BC равны. Это следует из того, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Шаг 5: Рассмотрим точку пересечения диагоналей P. Она делит диагонали AC и BD на две равные части: AP = PC и BP = PD.

Шаг 6: Теперь мы можем рассмотреть треугольники APB и CPD. Они имеют общую сторону AB и параллельные стороны AP и CP соответственно.

Шаг 7: Так как AP = PC и углы ABD и BCD равны, мы можем заключить, что треугольники APB и CPD равны по стороне-уголу-стороне.

Шаг 8: В результате, у нас есть два треугольника, которые равны друг другу, и это означает, что углы APB и CPD также равны.

Шаг 9: Из равенства углов APB и CPD следует, что треугольники APB и CPD имеют одинаковые основания PB и PD и равные высоты, проходящие через точку P.

Шаг 10: Следовательно, диагонали AC и BD делятся пополам точкой пересечения P.

---

Доказательство, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны:

Шаг 1: Предположим, что у нас есть параллелограмм ABCD.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники ABD и BCD. Обратите внимание, что эти треугольники имеют общую сторону AB и параллельные стороны AD и BC.

Шаг 3: По свойству параллельных линий, углы ABD и BCD будут равными, так как они соответственные углы при пересечении параллельных линий AD и BC.

Шаг 4: Отметим, что сторона AB является общей для треугольников ABD и BCD, и она равна сама себе.

Шаг 5: Из равенства сторон AB и равенства углов ABD и BCD следует, что треугольники ABD и BCD равны по стороне-уголу-стороне.

Шаг 6: Следовательно, сторона AD равна стороне BC, и сторона AB равна стороне CD.

Шаг 7: Так как противоположные стороны параллелограмма равны, мы можем заключить, что в параллелограмме противоположные стороны равны.

Шаг 8: Также, из равенства углов ABD и BCD следует, что в параллелограмме противоположные углы равны.

---

Таким образом, мы доказали, что в параллелограмме диагонали делятся пополам, а противоположные стороны равны и противоположные углы равны.