Question

У прямокутному трикутнику АВС проведено бісектриси АР і ВQ гострих кутів а в трикутниках АСР і BCQ відповідно медіани СМ і CN. Доведіть що кут СМР плюс кут СNQ дорівнюють 90 градусів

Answer 1

< ACB = 90° ; <CAP =<BAP ; <CBQ=<ABQ ; AM=MP ; BN =NQ ( M ∈[AP] ,N∈[PQ]).
--------------------------------------
<CMP + <CNQ = 90°  -->?.
ΔACP прямоугольный  треугольник : <ACP=90°  и CM   медиана проведенная из вершины  прямого угла , поэтому  CM =AP/2 =AM ,  т.е.   ΔAMC равнобедренный  ⇒
 <MCA =<MAC =<A /2. <CMP =  <MCA +<MAC || как внешний угол  ΔAMC || =2<MAC =<A. 
Аналогично прямоугольный и ΔBCQ  и  CN медиана проведенная из вершины  прямого угла BCQ ; CN =BQ/2 =BN  ;<CNQ =<NCB+<NBC=2<NBC =<B .
Следовательно :
<CMP + <CNQ = <A +<B =90°.