Question

Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через цент окружности, вписанной в ее основание. б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

Answer 1

а) Пусть МО - высота пирамиды, МК, МН и МР - высоты боковых граней.

МК = МН = МР = 41 см по условию,

∠МОК = ∠МОН = ∠МОР = 90°, так как МО высота пирамиды,

МО - общий катет для треугольников МОК, МОН и МОР, значит эти треугольники равны по гипотенузе и катету, следовательно

ОК = ОН = ОР.

МК⊥АВ, ОК - проекция наклонной МК на плоскость АВС, значит

ОК⊥АВ по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

МН⊥ВС, ОН - проекция наклонной МН на плоскость АВС, значит

ОН⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Аналогично, ОР⊥АС.

Тогда ОК, ОН и ОР - расстояния от точки О до соответствующих сторон.

Так как отрезки ОК, ОН и ОР равны, то точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, значит это центр вписанной в треугольник окружности.

б)

Рассмотрим треугольник МОК:

по теореме Пифагора

ОК = √(МК² - МО²) = √(41² - 40²) = √((41 - 40)(41 + 40)) =

= √(1 · 81) = 9 см - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Sabc = pr, где р - полупериметр ΔАВС.

Sabc = 42/2 · 9 = 21 · 9 = 189 см²