Question

В трапеции ABCD даны основания AD=8, BC=4. На продолжении BC выбрана точка М такая, что АМ отсекает от трапеции треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади трапеции. Найти длину отрезка СМ.

Answer 1

АА1 -высота на ВС

Sавсд=АА1*m=АА1*(ВС+АД)/2=0,5*АА1*(ВС+АД)

Sавм=0,5*АА1*ВМ

Sавм/Sавсд=4/1=0,5*АА1*ВМ/(0,5*АА1*(ВС+АД))=ВМ/(ВС+АД)

ВМ=ВС+СМ

(4+х)/(4+8)=4

х=48-4=44

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойством подобных треугольников и выразить отрезок СМ через отрезки АМ и ВС.

Пусть площадь треугольника, отсекаемого АМ, равна S. Тогда площадь трапеции ABCD равна 4S.

Согласно свойству подобных треугольников, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Таким образом, отношение площадей треугольников АМС и АВС будет равно квадрату отношения длин отрезков АМ и ВС:

S / (4S) = (АМ / ВС)^2

Упростим это уравнение:

1 / 4 = (АМ / ВС)^2

Вспомним, что АМ является продолжением ВС. Таким образом, длина отрезка АМ равна сумме длин отрезков ВС и СМ:

АМ = ВС + СМ

Подставим это выражение в уравнение:

1 / 4 = ((ВС + СМ) / ВС)^2

Упростим уравнение:

1 / 4 = (1 + СМ / ВС)^2

Возведем в квадрат обе части уравнения:

1 / 2 = 1 + СМ / ВС

Выразим отрезок СМ:

СМ = (1 / 2 - 1) * ВС

СМ = -1/2 * ВС

Теперь, чтобы найти длину отрезка СМ, нам нужно знать длину отрезка ВС. В условии задачи сказано, что ВС = 4. Подставим это значение:

СМ = -1/2 * 4

СМ = -2

Ответ: длина отрезка СМ равна -2.