Question

В треугольнике АБС стороны ас и бс равны , аб=6, cos угла БАС=корень из 3 деленное на 2 .Найти высоту ан

Answer 1

треугольник АВС равнобедренный, АС=ВС, АВ=6, уголА=уголВ, cosА=корень3/2=cosВ, sinB=корень(1-cosВ в квадрате)=корень(1-3/4)=1/2 , треугольник АНВ прямоугольный, АН=АВ*sinB=6*1/2=3

Answer 2

Для начала, нам нужно найти длину стороны АС. Известно, что АБ = 6 и cos угла БАС = √3/2. На основании косинусной теоремы, мы можем выразить сторону АС через известные значения: AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos угла БАС

Подставляем известные значения: AC² = 6² + BC² - 2*6*BC* (√3/2)

Упрощаем: AC² = 36 + BC² - 6BC√3

Теперь нам нужно выразить высоту AN. Высота проводится из вершины А перпендикулярно стороне СB.

Обозначим высоту AN, тогда высота BN = AC - AN.

AN х BC = AC х BN (по свойству высоты, умножение окажется по модулю площади треугольника дающим одинаковые значения)

AN х BC = AC х (AC - AN)

Подставляем известные значения: AN х BC = AC х (AC - AN) AN х 6 = AC х (AC - AN)

Раскрываем скобки: 6AN = AC² - AN²

Подставляем выражение для AC² из первого уравнения: 6AN = 36 + BC² - 6BC√3 - AN²

Упрощаем: AN² + 6AN - 36 - BC² + 6BC√3 = 0

Известно, что стороны треугольника неотрицательны, поэтому мы можем исключить отрицательное значение AN.

Находим длину стороны BC: BC = AB * 2 * sin угла БAS

Подставляем известные значения: BC = 6 * 2 * sin (arccos (√3/2)) BC = 12 * sin (arccos ( √3/2))

Синус арккосинуса (√3/2) можно выразить через теорему Пифагора: sin (arccos (√3/2)) = √(1 - (√3/2)²) sin (arccos (√3/2)) = √(1 - 3/4) sin (arccos (√3/2)) = √(1/4) sin (arccos (√3/2)) = 1/2

Подставляем значение sin (arccos (√3/2)) в уравнение для BC: BC = 12 * (1/2) BC = 6

Подставляем значение BC в уравнение для AN: AN² + 6AN - 36 - 6² + 6*6√3 = 0 AN² + 6AN - 36 - 36 + 36√3 = 0 AN² + 6AN + 36√3 - 72 = 0 AN² + 6AN - 36 - 36√3 = 0

Решаем это уравнение с помощью квадратного трёхчлена: AN = (-6 ± √(6² + 4*36*√3))/(2*1) AN = (-6 ± √(36 + 144√3))/(2)

AN = (-6 ± √(36(1 + 4√3)))/(2) AN = (-6 ± 6√(1 + 4√3))/(2) AN = -3 ± 3√(1 + 4√3)

Таким образом, мы получаем два решения для длины высоты AN: -3 + 3√(1 + 4√3) и -3 - 3√(1 + 4√3). Ответ может быть любой из этих двух вариантов.