Question

В треуг. ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168. Найдите стороны треуг. ABC

Answer 1

Задания и вопросы на сервисе повторяются. Решение этой задачи я уже давала. Повторяю его с незначительными изменениями.  
----------------

Обозначим точку пересечения биссектрисы  с АD буквой Н. 

В ᐃ АВD биссектриса ВН  ⊥ АD,⇒  ВН -  высота,⇒ 

ᐃАВD равнобедренный.   Поэтому ВН медиана и  делит АD пополам. 

АН=НD=84. 

АД медиана, значит,  ВD=DС. Так как  АВ=ВД, то АВ=ВD=DС, и ВС=2АВ. 

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

В ᐃАВС  биссектриса делит АС в отношении АВ:ВС=1:2 и АС=3 АE 

Проведем ВР параллельно АС  до пересечения с продолжением медианы АD в точке P.

ᐃ ВDР =ᐃ АDС  т.к. ВD=DС, углы при D равны как вертикальные, ∠СВP=∠ВСА как накрестлежащие  ⇒ ВР=АС=3 АE

Треугольники АНE и BНP прямоугольные и подобны по равенству углов

( ∠ ВPА=∠PАС как углы при параллельных АС и ВP и секущей ВС). 

АE:ВP=НE:ВН=1:3

ВН=3НE

ВЕ=4НЕ

НE=ВE:4=42

 ВН=3*42=126

Из ∆ АНE

АE=√(АН²+НE²)

АE=√(84²+42²)

Возвести большое число в квадрат и извлечь корень из него можно   разложением числа на множители.

АE=√(6²14²+3²*14²)=√14²(6²+3²)=14*3√5=42√5

АС=3*42√5=126√5

Из ∆ АВН

АВ=√(ВН²+АН²)

АВ=√(9²*14²+6²*14²)=√14²(9²+6²)=14*√(9*13)=42√13

ВС=2АВ=84√13

Найдены все три стороны. 

Answer 2

Пусть стороны треугольника ABC обозначены как a, b и c, а точки D и E - точки пересечения медианы и биссектрисы треугольника.

Медиана AD делит сторону BC пополам, поэтому BD = DC = c/2.

Также, известно, что биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168, поэтому BD = DE = EC = 168.

Таким образом, имеем систему уравнений:

BD + DE = a BD + C += b/2 DE = C = EC = 168

Заметим, что из второго уравнения следует, что BD + c/2 = b/2, или BD = (b - c)/2.

Также, из первого уравнения получаем BD + (b - c)/2 = a, или BD = 2a- b + c.

Тогда 2a - b + c = 168.

Теперь, используя значение BD = 168, получаем:

2a - b + c = 168 (b - c)/2 = 168

Умножим второе уравнение на 2:

b - c = 336.

Теперь, сложим это уравнение с первым:

2a - b + c + b - c = 168 + 336, 2a = 504, a = 252.

Подставляем найденное значение a в первое уравнение:

2*252 - b + c = 168, 504 - b + c = 168, -b + c = -336, c - b = 336.

Теперь, зная, что c - b = 336 и b - c = 336, получаем b = c.

Таким образом, стороны треугольника ABC равны a = 252, b = c, c = 336.