Question

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 12. Найдите высоту этого треугольника

Answer 1

Δ $ABC -$ равносторонний,  значит $AB=BC=AC=a$

$1)$
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник вычисляется по формуле:

$r= \frac{a}{2 \sqrt{3} }$,  где $a$ - сторона треугольника

$2)$
Найдём сторону равностороннего треугольника: 

$r=12$

$\frac{a}{2 \sqrt{3} }=12$

$a=12*2 \sqrt{3}$

$a=24 \sqrt{3}$

$3)$
Опустим из вершины B перпендикуляр на сторону AC

$BH$ ⊥ $AC$

$BH$ ∩ $AC=H$

$AH=HC= \frac{a}{2}$

$AH=12 \sqrt{3}$

Δ $ABH$ -  прямоугольный

 По теореме Пифагора найдем высоту:

$BH= \sqrt{AB^2-AH^2} = \sqrt{(24 \sqrt{3})^2-(12 \sqrt{3})^2 }= \sqrt{1296}=36$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равностороннего треугольника и окружности, вписанной в него.

Свойства равностороннего треугольника:

- Все стороны равны между собой. - Все углы равны 60 градусов.

Свойства окружности, вписанной в равносторонний треугольник:

- Центр окружности совпадает с центром равностороннего треугольника. - Радиус окружности равен половине высоты равностороннего треугольника.

Теперь, когда у нас есть радиус вписанной окружности (12), мы можем найти высоту треугольника.

Шаг 1: Найдем сторону равностороннего треугольника

Так как все стороны равны между собой, мы можем найти длину одной из сторон, например, AB, используя радиус вписанной окружности.

Для этого мы можем воспользоваться формулой: AB = 2 * радиус * sin(60 градусов)

где sin(60 градусов) = √3 / 2.

Подставляя значения, получаем: AB = 2 * 12 * (√3 / 2) AB = 24 * (√3 / 2) AB = 12 * √3

Шаг 2: Найдем высоту треугольника

Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, высота будет проходить через центр вписанной окружности.

Так как центр окружности совпадает с центром равностороннего треугольника, высота будет перпендикулярна стороне AB и проходить через ее середину.

Высота треугольника будет равна половине стороны AB, так как равносторонний треугольник можно разделить на два равных прямоугольных треугольника.

Таким образом, высота треугольника равна: Высота = (1/2) * AB Высота = (1/2) * 12 * √3 Высота = 6 * √3

Ответ: Высота этого равностороннего треугольника равна 6√3.