Question

Хорда BC окружности параллельна прямой, касающейся окружности в точке A. Докажите, что хорды AB и AC равны.

Answer 1

Проведем из точки А через центр окружности О перпендикуляр
пусть точка пересечения прямых АО и ВС = К
т.к.  радиус, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам
получим ΔВКА=ΔСКА (по двум катетам)
⇒ сторона ВА=СА

Answer 2

Пусть BC - хорда окружности, параллельная прямой, касающейся окружности в точке A.

Для начала, рассмотрим треугольник ABC. По условию, BC || прямой, касающейся окружности в точке A. Также из геометрии известно, что хорда, параллельная одной из сторон треугольника, делит другие две стороны пропорционально. Таким образом, мы можем сказать, что:

AB/AC = BC/AB

Теперь рассмотрим треугольник ABD, где D - точка пересечения хорды BC с прямой, касающейся окружности в точке A. По теореме о касательных, угол между хордой и касательной в точке касания равен прямому углу. Таким образом, угол BDA = 90 градусов.

Также, по теореме о вписанном угле, угол BAC равен половине угла BDC, так как эти углы опираются на одну и ту же дугу BC.

Из угловой суммы в треугольнике BDC мы можем сказать, что:

угол BDC + угол BCD + угол CBD = 180 градусов

Так как угол BDC = 90 градусов, то:

90 + угол BCD + угол CBD = 180 градусов

Следовательно, угол BCD + угол CBD = 90 градусов.

Так как угол BAC равен половине угла BDC, то угол BAC = 45 градусов.

Таким образом, мы получаем следующее соотношение:

AB/AC = BC/AB = sin(45 градусов)

Так как sin(45 градусов) = √2/2, то:

AB/AC = BC/AB = √2/2

Таким образом, хорды AB и AC равны.