Question

1) Дан прямоугольный треугольник ЕКМ, катеты равны 3 см и 4 см. Вычислить синус, косинус и тангенс острых углов. 2) Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов равен 8 см. Чему равны тангенсы его острых углов? 3) Средние линии треугольника относятся как 2 : 2 : 4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.

Answer 1

1) Пусть EK и KM - катеты. EK = 3 см, KM = 4 см.
Найдём по теореме Пифагора гипотенузу EM: 
EM = √(9+16) = √25 = 5 см

sin ∠KEM = KM : EM = 4 : 5 = 0.8
cos ∠KEM = EK : EM = 3 : 5 = 0.6
tg ∠KEM = KM : EK = 4 : 3 = 1 1/3 = 1.(3)

sin ∠KME = EK : EM = 3 : 5 = 0.6
cos ∠KME = KM : EM = 4 : 5 = 0.8
tg ∠KME = EK : KM = 3 : 4 = 0.75

2) AB = 10 см, BC = 8 см
Найдём AC по теореме Пифагора:
AC = √(100-64) = √36 = 6 см

tg ∠CAB = CB : AC = 8 : 6 = 1 1/3 = 1.(3)
tg ∠ABC = AC : CB = 6 : 8 = 0.75

3) Средние линии относятся как 2 : 2 : 4 или 1 : 1 : 2.
Средние линии в два раза меньше сторон ⇒ если каждую среднюю линию умножить на два, то получатся стороны треугольника, и отношение этих сторон будет таким же, то есть 1 : 1 : 2
Пусть стороны равна x, x, 2x
Составим уравнение:
x + x + 2x = 45
4x = 45
x = 11.25 см
2x = 22.5 см

Answer 2

Давайте решим каждую задачу поочередно.

1) Прямоугольный треугольник ЕКМ

Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Используем основные тригонометрические соотношения:

a) Синус угла α: \[ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] \[ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \]

b) Косинус угла α: \[ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] \[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \]

c) Тангенс угла α: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \]

Точно так же найдем значения для угла β, который равен 90 градусов минус угол α.

2) Прямоугольный треугольник АВС

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 8 см.

a) Тангенс угла α: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]

b) Тангенс угла β (90 градусов минус угол α): \[ \tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \] \[ \tan(\beta) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]

3) Средние линии треугольника

Пусть a, b, c - стороны треугольника. Средние линии делят стороны в отношении 2:2:4.

\[ a' = \frac{2}{2+2+4} \times a \] \[ b' = \frac{2}{2+2+4} \times b \] \[ c' = \frac{4}{2+2+4} \times c \]

Из условия периметра: \[ a + b + c = 45 \]

Подставим значения a', b', c' в уравнение и решим его.

Теперь у вас есть все необходимые шаги для решения каждой из задач.