Question

∆АBС и ∆А1Б1BС1, где ВС=В1С1, угол С=углу С1 и АВ+АС=А1В1+А1С1. Доказать, что медианы ВD и В1D1 равны

Answer 1

Достаточно доказать, что треугольники равны между собой. Построим треугольники со сторонами КВС и К1В1С1, так, что КС=АВ+АС= К1С1, К ик1 на продолжении СА и С!А1, соответственно.
Эти треугольниеи равны по двум сторонам и углу между ними.
Из середины кв возведем перпендикуляр  до пересечения с АС в точке М.
Также из середины К1В1 до М1.
Треугольники  КМВ и К!М1В1 , очевидно равнобедренные и равны между собой. Значит АВ=А1В1 и АС=КС-АВ=К1С1-А1В1=А1С1.
Значит ∆АBС = ∆А1Б1BС1 по трем сторонам. Значит и соответствующие медианы равны между собой.

Answer 2

Для доказательства равенства медиан в треугольниках ∆ABC и ∆A1B1C1, где ВС=В1С1, угол С=углу С1 и АВ АС=А1В1 А1С1, мы можем использовать свойство медианы треугольника.

Свойство медианы треугольника:

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Свойство медианы треугольника заключается в том, что медиана делит соответствующую сторону пополам и пересекается с другими медианами треугольника в одной точке, называемой центром тяжести или барицентром треугольника.

Доказательство:

1. По условию, ВС=В1С1, угол С=углу С1 и АВ АС=А1В1 А1С1. 2. Рассмотрим медиану ВD треугольника ∆ABC. Пусть точка D - середина стороны АС. 3. Рассмотрим медиану В1D1 треугольника ∆A1B1C1. Пусть точка D1 - середина стороны А1С1. 4. Нам нужно доказать, что медианы ВD и В1D1 равны.

Для доказательства равенства медиан ВD и В1D1, мы можем воспользоваться свойством медианы треугольника.

Доказательство равенства медиан:

1. По свойству медианы треугольника, медиана ВD делит сторону АС пополам. То есть, АD=DC. 2. Аналогично, медиана В1D1 также делит сторону А1С1 пополам. То есть, А1D1=D1C1. 3. Из условия АВ АС=А1В1 А1С1 следует, что АВ=А1В1 и АС=А1С1. 4. Так как ВС=В1С1, угол С=углу С1 и АВ АС=А1В1 А1С1, то треугольники ∆ABC и ∆A1B1C1 являются равнобедренными треугольниками. 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой угла при вершине и перпендикулярна основанию. 6. Следовательно, угол В=углу В1 и медианы ВD и В1D1 перпендикулярны к соответствующим основаниям АС и А1С1. 7. Так как медианы ВD и В1D1 перпендикулярны к соответствующим основаниям и делят их пополам, то ВD=В1D1.

Таким образом, мы доказали, что медианы ВD и В1D1 равны.