Question

Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади трапеции AKCD, если AB:AD=3:5.

Answer 1

Прямоугольник АВСД, АК-биссектриса угла А, уголВАК=уголКАД=1/2уголА, уголКАД=уголАКВ как внутренние разносторонние, треугольник АВК равнобедеренный, АВ=ВК, АВ/АД=3/5=3х=5х, АВ=ВК=СД=3х, ВС=АД=5х, КС=ВС-ВК=5х-3х=2х, площадь АВК=1/2*АВ*ВК=1/2*3х*3х=9*х в квадрате/2, площадь трапеции АКСД=1/2*(КС+АД)*СД=1/2*(2х+5х)*3х=21*х в квадрате/2, площадьАВК/площадьАКСД=(9*х в квадрате/2)/(21*х в квадрате/2)=3/7

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы и отношение площадей.

Свойство биссектрисы

Биссектриса угла прямоугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам прямоугольника. В данном случае, биссектриса угла A, пересекая сторону BC в точке K, делит сторону BC на отрезки BK и KC таким образом, что:

BK : KC = AB : AC

Отношение площадей

Отношение площадей двух фигур можно найти, используя отношение длин соответствующих сторон. В данном случае, мы хотим найти отношение площади треугольника ABK к площади трапеции AKCD.

Решение:

Пусть AB = 3x и AD = 5x (в соответствии с заданным отношением сторон).

Из свойства биссектрисы мы знаем, что BK : KC = AB : AC. Поскольку AB = 3x и AC = AD = 5x, мы можем записать:

BK : KC = 3x : 5x

Нахождение площадей

Общая формула для площади треугольника - это половина произведения основания и высоты. В данном случае, треугольник ABK имеет основание AB и высоту, которая проходит через точку K и перпендикулярна стороне AB. Пусть высота треугольника ABK равна h.

Тогда площадь треугольника ABK равна:

Площадь ABK = (1/2) * AB * h

Трапеция AKCD имеет основания AD и KC, а также высоту h. Площадь трапеции AKCD равна:

Площадь AKCD = (1/2) * (AD + KC) * h

Отношение площадей

Чтобы найти отношение площади треугольника ABK к площади трапеции AKCD, мы можем поделить площадь треугольника на площадь трапеции:

(Площадь ABK / Площадь AKCD) = ((1/2) * AB * h) / ((1/2) * (AD + KC) * h)

Заметим, что h сокращается, и мы получаем:

(Площадь ABK / Площадь AKCD) = AB / (AD + KC)

Подстановка значений

Мы знаем, что AB = 3x и AD = 5x. Из свойства биссектрисы мы также знаем, что BK : KC = 3x : 5x. Подставим эти значения в уравнение отношения площадей:

(Площадь ABK / Площадь AKCD) = 3x / (5x + 3x)

(Площадь ABK / Площадь AKCD) = 3x / 8x

(Площадь ABK / Площадь AKCD) = 3/8

Таким образом, отношение площади треугольника ABK к площади трапеции AKCD равно 3/8.