Question

Помогите доказать что медиана прямоугольного треугольника , проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Answer 1

Описанная окружность около прямоугольного треугольника радиусом равным половине гипотенузы и центром на середине гипотенузы. Медиана является радиусом значит равна половине гипотенузы.
В любом прямоугольной треугольнике медиана равна половине гипотенузы

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника и свойства медианы.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, а BD - медиана, проведенная к гипотенузе.

Для начала, заметим, что треугольник ABC является подобным треугольнику ABD и треугольнику BCD, поскольку угол ABC прямой. Также, треугольник ABD подобен треугольнику BCD, поскольку угол BDA прямой.

Из подобия треугольников ABD и BCD, мы можем написать следующее соотношение между их сторонами:

AB/BD = BD/CD

Так как BD является медианой, то BD = CD. Подставим это в уравнение:

AB/BD = BD/BD

Упростим:

AB/BD = 1

Таким образом, мы получили, что AB = BD.

Теперь обратимся к треугольнику ABD. Медиана BD делит сторону AC пополам. Поэтому, AD = DC = 1/2 * AC.

Таким образом, мы доказали, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а CD - медиана, проведенная к гипотенузе.

Проведем высоту CE, которая будет перпендикулярна к гипотенузе AB. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то высота CE будет являться медианой, проведенной к гипотенузе.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то у него существует теорема Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

AB² = AC² + BC²

Поскольку медиана CE проведена к гипотенузе AB, она делит ее на две равные части. То есть, AC = BC, так как треугольник ABC равнобедренный.

Тогда уравнение примет вид:

AB² = AC² + AC²

AB² = 2AC²

AC² = AB²/2

AC = √(AB²/2)

AC = AB/√2

Таким образом, мы получили, что длина медианы CE равна AB/√2.

С другой стороны, гипотенуза AB равна двум катетам, поэтому AB = 2AC.

Таким образом, мы можем записать:

AC = AB/2

То есть, длина медианы CE равна половине гипотенузы AB.

Таким образом, мы доказали, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.