Question

Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, если известно, что один из катетов на 1 см меньше гипотенузы, а другой - на 2 см

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте обозначим длину гипотенузы как c, а длины катетов как a и b.

Из условия задачи известно, что один из катетов на 1 см меньше гипотенузы, а другой на 2 см. Мы можем записать это в виде уравнений:

a = c - 1 b = c - 2

Также, по теореме Пифагора, известно, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим значения a и b из уравнений выше в это уравнение:

(c - 1)^2 + (c - 2)^2 = c^2

Раскроем скобки и упростим уравнение:

c^2 - 2c + 1 + c^2 - 4c + 4 = c^2

Сгруппируем по степеням c:

2c^2 - 6c + 5 = c^2

Перенесём все члены влево:

c^2 - 6c + 5 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) равен:

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

c1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5 c2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, получили два возможных значения для длины гипотенузы c: 5 см и 1 см.

Подставим значения c в уравнения для a и b, чтобы найти их длины:

Для c = 5: a = 5 - 1 = 4 b = 5 - 2 = 3

Для c = 1: a = 1 - 1 = 0 b = 1 - 2 = -1

Таким образом, получаем два возможных прямоугольных треугольника:

1. Стороны треугольника: a = 4, b = 3, c = 5 2. Стороны треугольника: a = 0, b = -1, c = 1

Обратите внимание, что второй треугольник не является физически возможным, так как длины сторон не могут быть отрицательными. Таким образом, единственным возможным треугольником является треугольник со сторонами: a = 4, b = 3, c = 5.