Question

Взаимное расположение прямых это

Answer 1

Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.
Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

(12)

Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0

Answer 2

Взаимное расположение прямых определяется их взаимным положением на плоскости. Прямые могут быть параллельными, пересекающимися, совпадающими или быть скрещивающимися.

1. Параллельные прямые: Они лежат на одной плоскости и никогда не пересекаются, имея одинаковый угол наклона или наклон в одном направлении. Их уравнения будут иметь одинаковый наклон, но различные константы. Например, y = 2x + 3 и y = 2x - 2 - это параллельные прямые.

2. Пересекающиеся прямые: Эти прямые имеют точку пересечения и могут иметь разные углы наклона. Уравнения этих прямых обычно не равны друг другу. Например, y = 2x + 3 и y = -3x + 5 - это прямые, которые пересекаются.

3. Совпадающие прямые: Это прямые, которые полностью совпадают друг с другом. Их уравнения равны друг другу. Например, уравнение прямой y = 2x + 3 и уравнение y = 2x + 3 представляют собой совпадающие прямые.

4. Скрещивающиеся прямые: Это две прямые, которые не параллельны и не совпадают друг с другом, но их точка пересечения на плоскости не лежит в пределах области их пересечения. Их уравнения различны, и они пересекаются в точке, которая не принадлежит области, заданной уравнениями. Это возможно, если прямые расположены на разных плоскостях.

Это основные варианты взаимного расположения прямых на плоскости, и понимание их взаимоотношений помогает анализировать их свойства и характеристики при решении геометрических задач или систем уравнений.