Question

Вокруг правильной четырехугольной призмы описан шар.Радиус шара,проведенный к вершине призмы,образует с ее боковым ребром угол гамма.Найти радиус шара,если боковое ребро призмы равно a.

Answer 1

Задача для художников, которые могут призму в шаре изобразить

Answer 2

Задача

Описан шар вокруг правильной четырехугольной призмы. Радиус шара, проведенный к вершине призмы, образует с ее боковым ребром угол гамма. Нужно найти радиус шара, если боковое ребро призмы равно a.

Решение

Для решения задачи, рассмотрим сечение призмы, проходящее через вершину и центр шара.

Шаг 1: Найдем высоту призмы, образующую прямой угол с боковым ребром.

Поскольку призма является правильной четырехугольной, каждый из ее граничных углов равен 90 градусов. Таким образом, внутренний угол между боковым ребром и основанием призмы также равен 90 градусов. Обозначим этот угол как альфа.

Шаг 2: Найдем угол между основанием призмы и боковым ребром.

Из условия задачи, угол гамма образован радиусом шара, проведенным к вершине призмы, и боковым ребром призмы. Обозначим этот угол как гамма.

Шаг 3: Найдем угол между основанием призмы и ее боковым ребром.

Из геометрии шара, угол между радиусом и касательной к сфере в точке касания равен 90 градусов. Таким образом, угол между радиусом шара и касательной в точке касания равен 90 градусов. Обозначим этот угол как бета.

Шаг 4: Применим теорему синусов к треугольнику, образованному боковым ребром, радиусом шара и касательной к сфере.

Теорема синусов гласит:

sin(гамма) / a = sin(бета) / r,

где a - боковое ребро призмы, r - радиус шара.

Шаг 5: Решим уравнение относительно r.

r = (a * sin(бета)) / sin(гамма)

Шаг 6: Подставим значения углов.

Из шага 2, угол гамма равен заданному углу между боковым ребром призмы и радиусом шара.

Из шага 3, угол бета равен 90 градусам (так как угол между радиусом шара и касательной в точке касания равен 90 градусов).

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

r = (a * sin(90)) / sin(гамма)

Поскольку sin(90) = 1, уравнение упрощается:

r = a / sin(гамма)

Таким образом, радиус шара равен a / sin(гамма).