Question

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 30 пи. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через центры его оснований

Answer 1

Площадь боковой поверхности цилиндра S1 = Lh = 2пRh, где L - длина окружности, лежащей в основании цилиндра, R - радиус основания, h - высота цилиндра.

Площадь сечения S2 = 2Rh.

2пRh = 30п

2Rh = 30

Ответ: 30. 

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу подробно. Площадь боковой поверхности цилиндра выражается формулой:

\[ S_{\text{бок}} = 2\pi r h, \]

где \( r \) - радиус основания цилиндра, а \( h \) - его высота.

В данной задаче у нас уже известно, что \( S_{\text{бок}} = 30\pi \). Теперь мы можем записать уравнение:

\[ 2\pi r h = 30\pi. \]

Далее, у нас есть сечение цилиндра плоскостью, проходящей через центры его оснований. Такое сечение дает нам круг, и его площадь можно выразить формулой:

\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2, \]

где \( R \) - радиус круга, который равен радиусу основания цилиндра. Таким образом, \( R = r \).

Таким образом, площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через центры его оснований, будет равна площади круга:

\[ S_{\text{сечения}} = \pi R^2 = \pi r^2. \]

Итак, чтобы найти площадь сечения, нам нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2\pi r h = 30\pi, \\ S_{\text{сечения}} = \pi r^2. \end{cases} \]

Подставим \( R = r \) в уравнение для боковой поверхности:

\[ 2\pi r h = 30\pi \Rightarrow h = \frac{30}{2} = 15. \]

Теперь мы знаем высоту цилиндра \( h \). Подставим ее в формулу для площади сечения:

\[ S_{\text{сечения}} = \pi r^2. \]

Таким образом, площадь сечения цилиндра будет \( 15\pi r^2 \).