Question

Решите пожалуйста! Площадь треугольника АВС равна 60. Биссектриса АD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом ВЕ:ЕК=1:1. Найдите площадь четырёхугольника ЕDСК. Срочно!

Answer 1

Решение:
BD:CD=1:2(т.к.биссектриса),
AB:AC=1:2,
BK- медиана =>точка K делит АС пополам, => AB=AK =>треугольник KAB - равнобедренный и его биссектриса AE является ещё и медианой.=> BE=EK.
По свойству медианы это значит,что S треугольников ABE и AEK равны S треугольников ABK и BKC равны.Т.к. AD - биссектриса, делящая BC в отношении 1:2, то S треугольника ABD относится к S ADC так же как и 1:2.Т.к. S треугольника ABC=60,то S треугольников ABK и BKC=30, а ABD и ADC равны 20 и 40.
Пусть y - S четырехугольника,тогда S BED= 30-y,S ABE= S ABD - S BED = 20-(30-y) = y-10, S AEK такая же, так как они равны с BED.
S ADC = 40 = S AEK + S EDCK = x-10+x=2x-10 =40. х = 25.
Ответ: S четырехугольника EDCK=25.  фухххх.... ))

Answer 2

Для начала давайте разберемся с данными в задаче. У нас есть треугольник ABC, площадь которого равна 60. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, причем отношение длин отрезков VE к EK равно 1:1.

Чтобы найти площадь четырехугольника EDCK, нужно узнать, как он связан с треугольником ABC.

Давайте предположим, что точка D - точка пересечения биссектрисы AD с стороной BC треугольника ABC.

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Зная, что площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \), мы можем использовать это знание, чтобы найти высоту треугольника относительно основания BC или AD.

Пусть h будет высотой треугольника ABC относительно основания BC, тогда:

\[ 60 = \frac{1}{2} \times BC \times h \] \[ h = \frac{120}{BC} \]

Теперь обратимся к четырехугольнику EDCK. Поскольку точка E - это точка пересечения биссектрисы AD и медианы BK, она делит медиану на две равные части. То есть, если E - середина отрезка BK, то KE = EB = 1/2 * BK.

Теперь давайте вспомним, что медиана делит треугольник на две части равной площади. Это означает, что площадь треугольника BKE равна площади треугольника BKC.

Таким образом, площадь треугольника BKE равна половине площади треугольника ABC:

\[ S_{BKE} = \frac{1}{2} \times S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \]

Теперь мы знаем, что площадь треугольника BKE равна 30. Поскольку KE = EB, то площадь треугольника BKE равна KE * h.

\[ S_{BKE} = KE \times h \] \[ 30 = KE \times \frac{120}{BC} \] \[ KE = \frac{30 \times BC}{120} = \frac{BC}{4} \]

Таким образом, KE равно четверти основания BC. А так как VE:EK = 1:1, то VE также равно четверти основания BC.

Теперь у нас есть все необходимые соотношения сторон. Площадь четырехугольника EDCK можно выразить через площадь треугольника ABC и отношение сторон VE и EK.

Площадь четырехугольника EDCK равна площади треугольника BKE минус площадь треугольника BVE:

\[ S_{EDCK} = S_{BKE} - S_{BVE} \] \[ S_{EDCK} = 30 - \frac{1}{2} \times VE \times EK \] \[ S_{EDCK} = 30 - \frac{1}{2} \times \frac{BC}{4} \times \frac{BC}{4} \] \[ S_{EDCK} = 30 - \frac{BC^2}{32} \]

Теперь остается найти значение BC. Но у нас пока нет точной информации о длине сторон треугольника ABC, поэтому невозможно найти точное значение площади четырехугольника EDCK без дополнительной информации.