Question

Із точки O - центра правильного трикутника АВС - проведено перпендикуляр SO до площини трикутника, SO = 4 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін трикутника, якщо сторона дорівнює 6√3 см.

Answer 1

SO_|_(ΔABC), O- центр правильного ΔАВС
центр правильного треугольника - точка пересечения медиан, биссектрис, высот, которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
высота правильного треугольника вычисляется по формуле:
$h= \frac{a \sqrt{3} }{2}$

 h=6√3*√3/2, h=9.  OK=(1/3)*СК, ОК=3 см
SK_|_AB.
прямоугольный ΔSOK:<SOK=90°, SO=4 см, ОК=3 см
по теореме Пифагора:SK²=SO²+OK²
SK²=4²+3²
 SK=5
ответ: расстояние от S до сторон правильного треугольника равно 5 см

Answer 2

Задача полягає в знаходженні відстані від точки S, що знаходиться на перпендикулярі SO до площини трикутника ABC, до сторін цього трикутника.

Для цього використаємо геометричні властивості прямокутних трикутників та теорему Піфагора.

Знаючи, що SO — висота, опущена з вершини прямокутного трикутника на його гіпотенузу AB, ми можемо розділити трикутник ABC на два менших прямокутних трикутника: ASO та BSO.

За теоремою Піфагора для трикутника ASO, можемо записати:

$$AS^2 = AO^2 - SO^2$$

Відомо, що у правильному трикутнику висота, проведена з вершини прямокутного кута до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, AO (половина гіпотенузи) дорівнює половині сторони трикутника ABC:

$$AO = \frac{AB}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Підставимо значення AO та SO у формулу для AS:

$$AS^2 = (3\sqrt{3})^2 - 4^2 = 27 - 16 = 11$$

Отже, $AS = \sqrt{11}$ см.

Аналогічно, знаходження відстані BS від точки S до сторони трикутника BC дасть такий самий результат, оскільки трикутник ABC є правильним трикутником. Тому відстань від точки S до сторони трикутника дорівнює $BS = \sqrt{11}$ см.

Таким чином, відстань від точки S до будь-якої сторони правильного трикутника ABC дорівнює $ \sqrt{11}$ см.